高中数学3.2 指数函数的图像和性质测试题

【精挑】3.2 指数函数的图象和性质-1作业练习

一．填空题

1．若关于的不等式（，且）的解集是，则的取值的集合是_________．

2．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________.

3．
若函数y = ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a = _________

4．函数恒过的定点为_________________.

5．函数恒过定点_________

6．设，，比较，的大小__________（用“”“＜”“=”表示）．

7．
_______．

8．
设函数，则满足的x的取值范围是________.

9．
函数恒过定点为__________．

10．
已知，且，则的值为__________．

11．
若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是__________．

12．已知函数，给出下列命题：

①若，则；

②对于任意的，，，则必有；

③若，则；

④若对于任意的，，，则，其中所有正确命题的序号是_____．

13．
已知函数，若，且，则的最大值为__________．

14．将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移个单位，所得函数的解析式为__________．

15．满足不等式的的取值范围为______________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】【分析】

由题意可得当x=时，4x =log2ax，由此求得a的值．

【详解】

∵关于x的不等式4x＜log2ax（a＞0，且a≠）的解集是{x|0＜x＜}，

则当x=时，4x =log2ax，即 2=log2a，∴（2a）2=，∴2a=，∴a=，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查指数不等式．对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．

2．【答案】27

【解析】根据指数的运算的性质，将两等式左右两边均化为同底指数幂，即可得方程组，解出方程组即可得结果.

【详解】

∵，∴，即，

又∵，∴，即，

两者联立，解得，即，故答案为27.

【点睛】

本题主要考查了指数的运算性质，一元一次方程组的解，解题的关键是化为同底指数幂得到方程组，属于基础题.

3．【答案】3

【解析】函数y = ax(a＞0，a≠1)为单调函数，

所以在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为.

解得或-4（舍）.

答案为：3.

4．【答案】

【解析】由题意，令，即时，，即可得到函数恒过定点的坐标，得到答案.

【详解】

由题意，可知函数，

令，即时，，即函数恒过定点.

【点睛】

本题主要考查了与指数函数有关的过定点问题，其中熟记指数函数的性质，赋值合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】根据指数函数恒过（0，1），即指数x=-2时，y=0，来求解该题．

【详解】

当x=时，，

∴函数恒过定点．

故答案为：

【点睛】

本题考察指数函数的特殊点，根据指数为0，幂值为1求解．

6．【答案】

【解析】分析：作差，通分，因式分解，最后根据各因子符号确定差的大小.

详解：∵

．

所以

点睛：作差比较法是判断两个数大小得一种有效得方法，作差法关键要尽量通过因式分解化为因子的乘积，再根据各因子得符号判断大小.

7．【答案】-1

【解析】。

答案：

8．【答案】

【解析】∵函数，则满足

当 时， ， ，

解得 不成立；
当 ，即 时，

，解得

当 时， ，解得
综上， 的取值范围是

故答案为

【点睛】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函分段函数性质的合理运用

9．【答案】

【解析】当时， ，

故恒过．

点睛：函数图象过定点问题，主要有指数函数过定点，对数函数过定点，幂函数过点，注意整体思维，整体赋值求解．

10．【答案】3

【解析】，∴，故，故答案为3.

11．【答案】

【解析】由得，令，则，∵，∴，∴当时， 取得最大值1，当时， 取得最小值0，∴，故答案为]．

12．【答案】②④

【解析】分析：，利用指数函数的性质判断即可.

详解：，

对于①，当时，，故①错误．

对于②，在上单调递减，所以当时，

即：，故②正确．

对于③表示图像上的点与原点连线的斜率，由的图像可知，

当时，，即：，故③错误．

对于④，由得图像可知，，故④正确．

综上所述，正确命题的序号是②④．

点睛：本题考查指数函数的性质，准确掌握时指数函数的性质是解题的关键.属中档题.

13．【答案】

【解析】分析：由，且可得且， 可得，化为，利用基本不等式可得结果.

详解： ，，

，且，

由，

得，

，

所以，

可得，，

即，

当且仅当时等号成立，

即的最大值为，故答案为.

点睛：本题考查指数函数的性质，以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

14．【答案】

【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式.

详解：

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.

15．【答案】

【解析】不等式等价于,再由指数函数的单调性得到结果.

【详解】

不等式等价于，根据指数函数的单调性得到为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了指数函数不等式的解法，一般先将指数化为同底的，再由函数的单调性得到不等式，最终得到解集即可.