高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.2 一元二次不等式及其解法练习

【基础】4.2 一元二次不等式及其解法-1优选练习

一．填空题

1．已知A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A？B，则a的取值范围是________.

2．不等式的解集是________．

3．不等式组的解集为___________

4．在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为____.

5．不等式的解集为____________．

6．已知函数与两坐标轴有三个交点，以这三个交点为顶点的三角形的面积为4，则实数的值是_________.

7．若关于的不等式（）的解集为，则______；

8．不等式的解集为______.

9．若0<a<1，则不等式(a－x) >0的解集是________.

10．不等式的解集是______.

11．函数在区间上的最大值为______，最小值为______．

12．函数的定义域为，其图像如图所示，若的反函数为，则不等式的解集为________

13．不等式的解集为__________

14．不等式的解集为________.

15．已知关于的不等式的解集是，则_____.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先解不等式得集合，然后由集合的包含关系得关于的不等关系，求解后可得．

详解：方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a＋1，a－1，且a＋1>a－1，所以B＝{x|a－1<x<a＋1}.因为A？B，所以，解得1≤a≤2.

故答案为：．

【点睛】

本题考查求集合的包含关系求参数范围，解题时首先解不等式得出集合，然后才可利子集的概念得出结论．

2．【答案】

【解析】解一元二次不等式的步骤：先移项，再把二次项系数化为正数；解对应的一元二次方程；根据方程的根，结合不等号方向，写出不等式的解集．

详解：不等式，化简为，即，等价于，

解得：.

故答案为：

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，解一元二次不等式往往先整理成标准形式或．可以结合二次函数的图像或者因式分解确定一元二次不等式的解集，属于基础题.

3．【答案】

【解析】分别解两个一元二次不等式，再求交集即可得解.

【详解】

解不等式得或；解不等式得.

所以不等式组的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的求解和交集的计算，属于基础题.

4．【答案】

【解析】根据运算的定义可得等价于，利用二次函数的性质可求左式的最小值，从而可得关于的不等式，求出其解后可得实数的最大值.

详解：原不等式等价于，

即对任意x恒成立.

，

所以，解得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查新定义运算下一元二次不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值来讨论，本题属于基础题.

5．【答案】（-∞，0）∪（4，+∞）

【解析】由分式不等式的解法得：可变形为x（x-4）＞0，解得：x＞4或x＜0，得解

详解：解：可变形为（ -4）＞0，

解得：＞4或＜0，

故答案为：（-∞，0）∪（4，+∞）

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，属简单题

6．【答案】

【解析】可分析函数与坐标轴的交点2个在轴上,1个在轴上,令,可得与轴交点为；令,则与轴的两个交点为,,且满足,,则,进而求解即可.

详解：由题,因为函数与两坐标轴有三个交点,则2个在轴上,1个在轴上,

令,则,所以与轴交点为,

令,则,则与轴的两个交点为,,由韦达定理可得,,

所以,

解得,

故答案为:

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质的应用,考查韦达定理的应用,考查运算能力.

7．【答案】

【解析】根据已知得出是二次方程的两个实根且.由根与系数的关系得关于的方程组，求解即可.

详解：解：依题意知，，，是方程的两个根，由根与系数的关系得：解得：或（舍去）.

所以，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二次不等式，考查学生的计算能力，属于基础题.

8．【答案】

【解析】利用因式分解将，转化为，再利用穿根法求解.

详解：因为，

所以，

解得或.

所以不等式的解集为：.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查高次不等式的解法，还考查了转化求解的能力，属于中档题.

9．【答案】

【解析】把不等式的最高次项系数正数，然后得出相应方程的解，根据二次函数的性质可得结论．

详解：原不等式即(x－a) <0，

由0<a<1，得a<，所以a<x<.

所以不等式的解集为.

故答案为：．

【点睛】

本题考查解一元二次不等式，解题时首先应把二次项系数化为正数，然后再根据三个二次的关系得结论．

10．【答案】

【解析】将所求不等式变形为，转化为整式不等式求解即可.

详解：将原不等式变形为，等价于，解得.

因此，不等式的解集是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

11．【答案】9    1 

【解析】根据二次函数的开口方向和对称轴，结合函数的定义域，求得函数的最大值和最小值.

详解：，该二次函数的开口向上，而，故当时，；当时，．

故答案为：9；1

【点睛】

本小题主要考查二次函数在给定区间上的最大值和最小值的求法，属于基础题.

12．【答案】

【解析】求出函数解析式，再求出反函数，即可求解不等式的解集.

【详解】

根据函数图象可得图象经过，

所以，

，得，

所以的反函数

不等式，

即，

解得：

故答案为：

【点睛】

此题考查解一元二次不等式，关键在于根据图象得出函数解析式，准确求出反函数，易错点在于弄错反函数的定义域，此题也可根据函数图象特征，作出反函数图象，利用图象解不等式.

13．【答案】（-∞，0）∪[1,+∞）

【解析】详解：变形为，

等价于，

解得或，即不等式的解集为（-∞，0）∪[1,+∞）.

14．【答案】

【解析】将分式不等式转化为不等式组可解得.

详解：解：原不等式等价于不等式组

解得，

所以所求不等式的解集为.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了分式不等式,一元二次不等式,属于基础题.

15．【答案】

【解析】先由题意得到不等式等价于，不等式的解集得到和是关于的方程的两个根，进而可求出结果.

详解：因为不等式等价于，

又其解集是，

所以和是关于的方程的两个根，

因此，解得，

故答案为

【点睛】

本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.