必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用练习题

【基础】4.3 一元二次不等式的应用-1优选练习

一．填空题

1．已知函数的图象关于直线对称，则__________.(填“>”或“<”)

2．函数的值域为__________________.

3．如果为二次函数,，并且的两根为和1，则________．

4．已知，满足，，则_________.

5．一元二次不等式的解集为______.

6．已知函数f（x）＝-x2＋ax＋b的最大值为0，若关于x的不等式f（x）＞c-1的解集为{x|m-4＜x＜m}，则实数c的值为________.

7．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围______.

8．已知平行四边形的周长为且，则平行四边形的面积的取值范围为_________

9．若正实数，满足，则的最大值为______．

10．已知对一切都有意义，则实数m的取值范围为_______.

11．若存在，使不等式成立，则实数取值范围是__.

12．已知函数，关于x的不等式的解集为A，其中，在集合A上的值域为B，若，则____.

13．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为________.

14．不等式的解集是_____________.

15．的最大值为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由题意知二次函数在上单调递增，即可判断．的大小.

详解：由关于对称，

∴在上单调递增，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，依据函数解析式．对称轴及单调区间比较函数值的大小，属于简单题.

2．【答案】

【解析】分析：先求出函数的定义域，再令，则，然后利用配方法结合二次函数的性质求出的取值范围，从而可求出函数的值域

详解：解：由，得，

令，则，

因为，

所以，所以，即，

所以函数的值域为，

故答案为：

【点睛】

此题考查求复合函数的值域，利用了换元法，属于基础题

3．【答案】

【解析】分析：利用待定系数法设，根据解得，从而可得的解析式.

详解：因为的两根为和1，

所以设，

因为，所以，解得，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，属于基础题.

4．【答案】6

【解析】分析：由，，可得出函数的解析式，进而可得的值．

详解：由，，可得，

则

故答案为：

【点睛】

本题考查二次函数的解析式，考查学生计算能力，属于基础题．

5．【答案】

【解析】

解：等价于，进而得：.

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：由二次函数的图象和性质，得出的关系，利用一元二次不等式和一元二次方程的关系，以及求根公式可得出两根之差，列方程求出实数c的值即可．

详解：∵函数f（x）＝-x2＋ax＋b的最大值为0，

∴Δ＝0，即a2＋4b＝0，所以.

又关于x的不等式f（x）＞c-1的解集为{x|m-4＜x＜m}，

所以方程f（x）＝c-1的两根分别为：m-4，m，

即方程：两根分别为：m-4，m，

又方程：根为：，

所以两根之差为：，解得c＝-3.

故答案为：

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质，考查一元二次不等式和一元二次方程的关系，考查学生计算能力，属于基础题．

7．【答案】；

【解析】分析：根据函数的函数值，，结合函数的图象即可求解.

详解：，

，又，

故由二次函数图象可知：

要使函数的定义域为，值域为

的值最小为；

最大为3.

的取值范围是：．

故答案：

【点睛】

本题考查了二次函数的定义域．值域，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，考查了数形结合思想，属于基础题．

8．【答案】

【解析】分析：设长度为，平行四边形的面积为，过作于，，，，根据二次函数的最值问题即可求解．

详解：设长度为，由平行四边形的周长为4，可知，

平行四边形的面积为，

过作于，，，，，

，当时，取得最大值，

，．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查了二次函数的值域问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题．

9．【答案】

【解析】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，

所以a＝，

则＝＝＝﹣2 （）2+，

当，即b＝2 时取得最大值．

故答案为：．

10．【答案】

【解析】分析：结合题意分类讨论m=0和m≠0两种情况求解实数m的取值范围即可.

详解：①当m=0时，其定义域为R .

②当m≠0时，由定义域为R可知，

对—切实数x均成立，

于是有，

解得，

所以实数m的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查二次函数恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．【答案】.

【解析】分析：对不等式进行参变量分离得到，然后令，，

即可以得到的取值范围.

详解：由题意，可知：，可得：

令，.

在上单调减，在上单调增，而，.

.

根据题意

故答案为:.

【点睛】

本题考查能成立问题的解决思路以及参变量分离方法，属中档题.

12．【答案】

【解析】分析：根据不等式的解集为，得到，，然后再根据在集合A上的值域为B，其，分，和三种情况讨论求解.

详解：令，

因为不等式的解集为A，

所以，，

因为在集合A上的值域为B，若，

所以当时，在集合A上递增，

则，

所以m，n是方程的两根，

所以，此时不成立；

当时，在集合A上递减，

则，

所以，此时不成立；

当时，

则，

所以，

所以，

故答案为：

【点睛】

方法点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定．轴动区间定．轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．

13．【答案】

【解析】分析：分两种情况讨论，由一次函数及二次函数的图象与性质可求解.

详解：当时，在R上单调递减，不符合题意，

当时，要使二次函数在上单调递增，

则，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了一次函数，二次函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题.

14．【答案】

【解析】由，得 ，解得 或 ，故不等式的解集是 ，故答案为.

15．【答案】5

【解析】分析：换元研究根号下二次函数在定义域内的最大值，即得结果.

详解：依题意令得定义域：，，在区间上，时取得最大值25，此时最大，最大值为5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了二次函数的最大值问题，属于基础题.