数学必修 第一册3 函数的单调性和最值练习题

【特供】3 函数的单调性和最值-4优选练习

一．填空题

1．为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办．国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了______米.

2．若函数，则___________．

3．已知函数，，给出下列结论：

①函数的值域为

②函数在上是增函数；

③对任意，方程在内恒有解；

④若存在，，使得成立，则实数的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是___________.

4．已知函数则________；的值域为_______．

5．已知函数，若方程在上有两个不相等的实数根，，则的取值范围是___________.

6．已知函数，若，则__________．

7．函数是单调函数.①的取值范围是_____；②若的值域是，且方程没有实根，则的取值范围是_____.

8．设函数，则满足的x的取值范围是___________.

9．已知函数，则的值为__________．

10．设函数，若，则___________.

11．函数的定义域是_____________．

12．定义：已知函数，其中，．若，则实数的取值范围为______；若的最大值为2，则______．

13．已知实数，函数（为自然对数的底数），若关于的方程恰好有3个不相等的实根，则实数的取值范围是__________.

14．已知函数，若，则_____________．

15．设函数，则不等式的解集为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】0.42

【解析】分析：根据所给得分规则求出70分时立定跳远距离，再求出105分时的立定跳远距离，即可求解.

详解：该生成绩为70分时，其立定跳远距离为米，

该生成绩为105分时，其立定跳远距离为米，

所以增加了米，

故答案为：0.42

2．【答案】

【解析】分析：利用函数的解析式由内到外可计算得出的值.

详解：，，因此，.

故答案为：.

3．【答案】①②④

【解析】分析：对于①，根据解析式求出函数的值域，可知①不正确；

对于②，由的范围推出的范围，结合正弦函数的单调性可知②正确；

对于③，求出两个函数在上的值域，利用两个函数的值域的交集可能为空集可知③不正确；

对于④，求出两个函数在上的值域，利用两个函数的值域的交集不为空集可求出结果.

详解：对于①，当时，为增函数，

所以，即；

当时，为减函数，

所以，即，

所以的值域为，故①正确；

对于②，当时，，

所以为增函数，又，

所以在上为增函数，故②正确；

对于③，由①知，的值域为，

由②知，在上为增函数，所以，

所以，即在内的值域为，

当或，即或时，在内无解，故③不正确；

对于④，若存在，，使得成立，

则，

由③知，当或时，，

所以当时，，

所以实数的取值范围是，故④正确.

故答案为：①②④

【点睛】

关键点点睛：对于③和④，利用两个函数在上的值域进行求解是解题关键.

4．【答案】1     

【解析】分析：第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）求当时的值域，（2）求当时的值域，最后取两值域的并集即可．

详解：解：；

当时，，

当时，，

所以的值域为

故答案为：1；．

5．【答案】

【解析】分析：先求得当时，的解析表达式，研究其单调性，进而根据方程在上有两个不相等的实数根，，得到.求得，，得到，利用三角换元思想，求得取值范围.

详解：因为，所以，

而，

所以当时，，

在[3,4]上单调递减，当时,

∴在上,上,

所以在上单调减，上单调递增，

,

因为方程在上有两个不相等的实数根，，

可知.

由得，，

所以，

因为，

所以设，，，

则.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数的解析式，函数的单调性，取值范围问题，关键是求得后，注意到，的平方和恒为1，想到利用三角换元思想求解，特别要注意，根据>≥0,缩小角的范围.

6．【答案】

【解析】分析：分别在和时，解方程，即得结果.

详解：当时，，而，故，解得；

当时，，方程无解．

故．

故答案为：．

7．【答案】     

【解析】分析：①分析出函数在上为增函数，从而可知函数为上的增函数，可得出关于实数的不等式组，可解出实数的取值范围；

②根据函数的值域为可求得，利用导数求出当直线与函数的图象相切时实数的值，数形结合可得出实数的取值范围.

详解：①当时，，，所以，函数在上为增函数，

由于函数在上为单调函数，则该函数在上为增函数，

所以，解得，即实数的取值范围是；

②当时，函数单调递增，此时，，

所以，函数在上的值域应包含，则.

当时，，由题意可得，可得.

由①可知，，.

设，则.

设直线与曲线的图象相切于点，

所以，，解得.

由图象可知，当，直线与函数的图象没有公共点.

故答案为：；.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想．数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

8．【答案】

【解析】分析：根据分段函数的表达式，分别讨论的取值范围，进行求解即可.

详解：由题意，函数，

若，则，则等价于，

解得，此时；

若时，此时，

当，即时，此时，，此时满足恒成立，

当时，即时，若，即，

即，解得，

综上可得，实数x的取值范围是.

故答案为：.

9．【答案】1.

【解析】分析：根据指数．对数的运算算出答案即可.

详解：因为

所以，

所以

故答案为：1

10．【答案】

【解析】分析：先求出，再分和两种情况，把代入函数中列方程可求出的值

详解：∵，

∴.

当时，即时，，则，与相矛盾，应舍去.

当，即时，，则，即，满足时.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】分析：根据函数解析式直接列出式子即可求解.

详解：，

，解得，故函数的定义域为.

故答案为：.

12．【答案】    2 

【解析】分析：根据及新定义即可求得实数的取值范围；作出函数及函数的大致图象，根据的最大值为2得到，即可得到的值．

详解：由题意得，所以，

即实数的取值范围为；

在同一坐标系中作出函数

及函数的大致图象如图所示，

令，解得或．

结合图象可知，若的最大值为2，则．

故答案为：；2.

【关键点点睛】

解决本题的关键是作出两函数的图象，根据两函数图象的位置关系及的最大值为2得到，即.

13．【答案】

【解析】分析：导数求出函数的单调区间，从而画出函数的大致图像，则可得，，从而得，令，则，有3个解，不妨设从小到大依次为，则可得，不合题意，舍去，所以得，结合图像得，从而可求出的取值范围

详解：解：当时，单调递增，且时，，

当时，，则，

因为在上单调递增，，

所以当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，，当时，，

作出的大致图像如图所示，

由图像可知，，则，

所以，

所以，解得，

令，则，且，

由图像可知，有3个解，不妨设从小到大依次为，

则，不合题意，舍去，

所以，即，

所以有三个解，

所以，解得，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查分段函数，解题的关键是利用导数画出函数图像，利用数形结合的思想求解即可，属于中档题

14．【答案】或1

【解析】分析：根据解析式分段讨论即可求解.

详解：若，则，解得（取负），

若，则，解得，

综上，或1.

故答案为：或1.

15．【答案】

【解析】分析：根据分段函数的解析式，讨论．，求的解集即可.

详解：当时，，解得；

当时，，解得，即无解；

∴综上，解集为.

故答案为：