高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数达标测试

【优选】4.1 一元二次函数-1作业练习

一．填空题

1．若函数是偶函数，则k=_________

2．已知函数，若存在实数．．，使得时，，则的取值范围是___________.

3．存在实数，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

4．函数在上的值域为_________.

5．已知不等式.

（1）若不等式在上有解，则实数的取值范围是__________；

（2）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

6．已知关于的不等式的解集为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.

7．不等式的解集为________

8．若关于的不等式的解集是，则实数的值为_____.

9．设，若时均有，则______.

10．若，则关于的不等式的解集是__________．

11．函数的单调增区间为______．

12．不等式的解集为________.

13．已知不是不等式的解，则实数的取值范围是_______

14．已知，且在恒成立，则的值为__________.

15．不等式的解集为___________________.

参考答案与试题解析

1．【答案】1

【解析】利用二次函数的对称性以及函数的奇偶性，直接推出结果即可．

【详解】

解：f（x）＝（k﹣2）x2+（k﹣1）x+2是偶函数，

可知二次函数的对称轴是y轴，则k﹣1＝0，

解得k＝1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查二次函数的性质以及函数的奇偶性的应用，是基础题．

2．【答案】

【解析】作出函数的图象，由函数的对称性可得出，设，由图象可知，并可得出，由此可得出，利用二次函数的基本性质即可求出所求代数式的取值范围.

【详解】

作出函数的图象如下图所示：

当时，，则，

设，则，

由于函数的图象关于直线对称，则，

，，

则，

构造函数，则函数在区间上单调递增

当时，.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查零点相关的代数式的取值范围的计算，解题的关键就是将代数式用以某个变量为自变量的函数加以表示，转化为函数的值域来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

3．【答案】

【解析】先化简不等式，转化为两个不等式组，结合二次函数图象与一次函数图象分析确定满足条件的解.

【详解】

因为，所以

或，

即或，

当时，则时，，即此时不等式不成立，

当时，设为满足较小的根，则时，满足，即此时不等式恒成立

当时，即

因此

故答案为：

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题以及二次函数图象性质，考查综合分析求解能力，属难题.

4．【答案】

【解析】令，原函数的值域等价于函数（）的值域，根据二次函数的性质计算可得.

【详解】

解：，令，因为，所以，

原函数的值域等价于函数（）的值域，

所以在上单调递增，上单调递减，，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查二次函数的性质及换元法求函数的值域，属于基础题.

5．【答案】     

【解析】（1）讨论参数的范围，解一元二次不等式，结合题意即可得出实数的取值范围；

（2）若不等式在上恒成立，则，根据包含关系得出实数的取值范围.

【详解】

（1）原不等式变为

当时，解集为

当时，解集为

当时，解集为

若不等式在上有解，则

（2）若不等式在上恒成立，则由(1)可知，所以

故答案为：（1）；（2）

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题和在某区间上有解问题，属于中档题.

6．【答案】

【解析】根据不等式与对应方程的关系，利用方程的实数根，即可求出的值，代入不等式，当是否为0进行讨论，结合判别式小于0即可得结果.

【详解】

不等式可化为，

∵不等式的解集为，

∴为方程，

即，解得，

即对于,不等式恒成立，

当时，显然成立，

当时，则，解得，

综上可得：实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了一元二次不等式与对应方程的问题，含有参数的一元二次不等式在实数集上恒成立问题，属于中档题.

7．【答案】

【解析】因为所以，

即不等式的解集为.

8．【答案】

【解析】由题意知，关于的方程的两根分别为和，利用韦达定理可求出实数的值.

【详解】

由题意知，关于的方程的两根分别为和，由韦达定理得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用一元二次不等式的解求参数，考查计算能力，属于基础题.

9．【答案】

【解析】当a＝1时，不等式不可能恒成立；当a≠1，若对任意的x＞0时均有，则构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x2﹣3ax﹣1，与x轴交于同一点，代入可得答案．

【详解】

当a＝1时，代入题中不等式得，明显不恒成立，舍．

当a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x2﹣3ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．

在函数y1＝（a﹣1）x﹣1中，令y＝0，得M（，0）；

在函数y2＝x2﹣3ax﹣1，∵x＞0时，均有成立，

又∵y2＝x2﹣3ax﹣1开口向上，随着的增加，y2＞0成立，所以a﹣1＞0.

∴y2＝x2﹣3ax﹣1显然过点M（，0），代入得：（）2﹣3a？﹣1＝0，

解之得：a＝或a＝0（舍去）．

故答案为：.

【点睛】

本题考查的知识点为函数不等式恒成立问题，函数的图象和性质，分类讨论思想，数形结合思想，属于中档题．

10．【答案】

【解析】先由题意，得到，直接解不等式，即可得出结果.

【详解】

因为，所以，

因此由可得，

解得：，

即不等式的解集为：.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查解一元二次不等式，熟记不等式的解法即可，属于基础题型.

11．【答案】

【解析】根据所给的二次函数的二次项系数小于零，得到二次函数的图象是一个开口向下的抛物线，根据对称轴，可得结论．

【详解】

解：函数的二次项的系数小于零

抛物线的开口向下

二次函数的对称轴是，定义域为

函数的单调递增区间是

故答案为：

【点睛】

本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最基本的运算，是一个基础题.

12．【答案】.

【解析】根据一元二次不等式的解法,即可求得答案.

【详解】

,即

解得:,

不等式的解集为:

故答案为:.

【点睛】

本题考查了解不含参数一元二次不等式,解题关键是掌握一元二次不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.

13．【答案】

【解析】根据题意得到，解得答案.

【详解】

已知不是不等式的解，则，解得或.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了不等式的解，解不等式，意在考查学生的计算能力.

14．【答案】

【解析】等价于，在恒成立，只需，根据的对称轴分类讨论，求出在的最大值和最小值，结合不等式的性质，即可求解.

【详解】

，对称轴方程为，

在恒成立，需，

当时， ，

①②得，不合题意舍去；

当时， ，

③④得，不合题意舍去；

当

⑤⑥⑦得，

，代入⑤⑦得，

.

故答案为:.

【点睛】

本题考查二次函数的最值以及不等式的性质，考查分类讨论思想，属于较难题.

15．【答案】

【解析】移项，分解因式，即可求得.

【详解】

不等式，整理为，

分解因式可得：，解得：

故答案为：.

【点睛】

本题考查二次不等式的求解，属基础题.