高中数学4.1 一元二次函数习题

【名师】4.2 简单幂函数的图象和性质-1练习

一．填空题

1．已知函数，，有下列个命题：

①若为偶函数，则的图象自身关于直线对称；

②函数与的图象关于直线对称：

③若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；

④若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；

其中正确命题的序号为______.

2．函数的奇偶性是____________.

3．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.

4．已知是上的偶函数，且在区间上是减函数，若，则实数的取值范围是__________.

5．已知，其中，若函数是奇函数，则________

6．已知函数的图象关于原点对称，且当时，，则当时， ___________.

7．写出一个定义域为值域为的偶函数_____．（答案不唯一）

8．已知偶函数在区间单调递增，，若，则的取值范围是_______________.

9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，；

②函数有个零点；

③，，都有；

④的解集为．

其中正确的命题是____________

10．已知定义在上的偶函数在上递减，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．

11．已知函数的导函数为，且满足．当时，．若，则实数的取值范围是________．

12．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 _________

13．已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是_____________．

14．已知函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，且，则___________.

15．已知函数，且满足，则的取值范围为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】①②③④

【解析】分析：根据题意,结合函数的对称性依次分析即可得答案.

详解：解：对于①，若为偶函数，其函数图像关于对称，故图像向右平移1个单位得的图象，故的图象自身关于直线对称，正确；

对于②，的图像向右平移1个单位，可得的图像，将的图像关于轴对称得的图像，然后将其图像向右平移1个单位得的图像，故与的图像关于直线对称，故正确；

对于③，若为奇函数，且，故，所以的图象自身关于直线对称，故正确；

对于④，因为为奇函数，且，故，所以的图像自身关于直线对称，故正确.

故答案为：①②③④

2．【答案】偶函数

【解析】分析：根据函数奇偶性的定义即可判断.

详解：解：的定义域为关于原点对称，

，

故为偶函数.

故答案为：偶函数.

3．【答案】

【解析】分析：先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.

详解：，

令，定义域为关于原点对称，

∴，

∴为奇函数，∴，

∴，

，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，

∴，，，

∴，

∴，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于函数奇偶性的判断，同时需要注意到奇函数在定义域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互为相反数.

4．【答案】

【解析】分析：根据是上的偶函数，将，转化为，再利用在区间上是减函数求解.

详解：因为是上的偶函数，

所以，

又因为在区间上是减函数，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：由是奇函数得，结合可得结果.

详解：若是奇函数，则.

不妨设，则，则，

即，又，则.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：由题意可知函数是奇函数，利用即可求解.

详解：当时，，则，

因为函数的图象关于原点对称，

所以函数是奇函数，

所以，

即，

所以，

所以当时，，

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：这样的函数可以为，再利用奇偶性的定义以及单调性进行验证.

详解：这样的函数可以为

验证：，即函数为偶函数

当时，容易得到函数为减函数，

时，，结合奇偶性可得出的值域为

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：根据函数的奇偶性分析单调性即可列不等式求解.

详解：偶函数在区间单调递增，则在单调递减，，

，则，

所以.

故答案为：

9．【答案】①③

【解析】分析：直接利用函数的图象和性质的应用，不等式的解法，函数的零点和方程的根的关系，函数的定义域和值域的求法判断①．②．③．④的结论．

详解：对于①，当时，则，所以，整理得，故①正确；

对于②，当时，由可得，即，故，又函数在处有定义，故，故函数有3个零点，故②错误；

对于③，当时，，所以时，有，时，有，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以时取得极小值，且时，，时，所以，即，

可作大致图象如下，再根据对称性作时的大致图象，

综上时，值域为，当时，值域为，而

所以的值域为．

故，，都有，，即，，故，即③正确．

对于④，当时，则的解集为，；当时，的解集为，；当时，成立．

故的解集为，，，故④错误；

故答案为：①③．

【点睛】

本题主要考查了函数性质的综合运用，包括奇偶性．利用奇偶性求解函数解析式的问题，同时也考查了数形结合解决零点和不等式范围的问题，属于难题

10．【答案】

【解析】分析：本题首先可根据偶函数性质将不等式转化为，然后根据单调性得出，则且，再然后设．，最后通过求导得出．的最值，即可得出结果.

详解：因为定义在上的偶函数在上递减，所以在上递增，

因为，

所以即，

结合函数单调性易知，

即，整理得且，

因为对恒成立，

所以且对同时恒成立，

设，则，

易知在上递增，在上递减，，

设，则，

故在上递减，，

综上所示，的取值范围是，

故答案为：.

11．【答案】

【解析】分析：根据已知不等式构造函数，根据所构造的函数的单调性．奇偶性进行求解即可.

详解：构造新函数，则有，

因为当时，，所以函数单调递减，

因为，

所以函数是奇函数，因为，所以有，

因此，因此函数是实数集上的减函数，

由，

即，因此有，

故答案为：

【点睛】

关键点睛：通过导函数不等式构造新函数是解题的关键.

12．【答案】6

【解析】分析：利用给定函数等式的结构特征借助奇函数和偶函数的性质即可得解.

详解：因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有，

又，于是有，

所以6.

故答案为：6

13．【答案】6

【解析】分析：设，根据已知条件求得的值，求得表达式，构造函数，判断的奇偶性，由此求得的最大值与最小值之和.

详解：设，依题意，所以，

.

，

构造函数，

，

所以为奇函数，图象关于原点对称，在区间上的最大值和最小值的和为.

所以在区间上的最大值和最小值的和为.

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：根据奇偶性构造方程组，解方程组即可求出结果.

详解：由题意知，因为函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，所以，所以，因此，

两式相加得，即.

故答案为：

15．【答案】

【解析】分析：由奇偶性定义确定函数的单调性，利用导数确定函数的单调性，然后由奇偶性和单调性化简不等式得解．

详解：，为奇函数，

又，

是减函数，

所以不等式化为，即，解得．

故答案为：．