北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.2 一元二次不等式及其解法同步达标检测题

【精选】4.2 一元二次不等式及其解法-2作业练习

一．填空题

1．不等式的解集为______；

2．若函数=的定义域为实数集，则实数的取值范围是__________.

3．不等式的解集为________.

4．已知关于的不等式的解集是，则______.

5．不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是__________．

6．不等式的解集是_____．

7．不等式的解集是______

8．若关于x的一元二次不等式的解集为 ，则实数的值为________.

9．不等式的解集为____________

10．已知在上恒成立，则实数的取值范围是________.

11．已知函数，关于x的不等式只有一个整数解，则正数a的取值范围是_______．

12．不等式的解集为______.

13．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______．

14．设，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为______.

15．关于的不等式的解集是，则______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据分式不等式的解法求解即可.

详解：解：将不等式变形为，

通分得：，即：，解得：或

故答案为：

【点睛】

本题考查分式不等式的解法，是基础题.

2．【答案】

【解析】依题意，可得恒成立，对参数分两种情况讨论，最后取并集即可；

详解：解：函数=的定义域为实数集，所以对恒成立，当时，恒成立，满足条件；

当时，则，解得

综上可得

【点睛】

本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.

3．【答案】

【解析】将，转化为，利用一元二次不等式的解法求解.

详解：因为，

所以，

所以，

解得，

所以不等式的解集为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4．【答案】-2

【解析】把代入不等式中得到解集,与不是原题的解集，故不为0，所以把不等式转化为

大于0，根据已知解集的特点即可求出的值．

详解：当时，不等式的解为，与题意不符，

由不等式的解集可判断，

所以原不等式等价于，

由解集为，可得，

则．

故答案为：

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解集和对应方程之间的关系，将不等式转化为一元二次方程的根是解决本题的关键.

5．【答案】

【解析】利用二次不等式与相应的二次函数的关系，易得结果.

详解：∵不等式对任意实数都成立，

∴

∴＜k＜2

故答案为

【点睛】

（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标．二次不等式解集的端点值．一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．

（2）二次函数．二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．

6．【答案】

【解析】直接利用一元二次不等式的解法求解．

详解：不等式可化为，

解得；

∴该不等式的解集是．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的解法，解题时先把不等式化简，再求解集，是基础题．

7．【答案】

【解析】首先将所给的不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.

详解：题中所给的不等式即：，，

该不等式等价于：，

求解二次不等式可得：，则不等式的解集为.

故答案为．

【点睛】

本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法 ，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．【答案】±3

【解析】根据一元二次不等式解集的特点，计算出的值，然后将和的值代入到对应的一元二次方程中即可得到的关系，从而可求的值.

详解：因为的解集为，

所以，所以或，

当时，，所以，所以，

当时，，所以，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据一元二次不等式的解集求参数关系，难度一般.注意一元二次不等式解集的端点值是对应的一元二次方程的根.

9．【答案】

【解析】利用一元二次不等式的解法即可求解.

详解：，

解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

10．【答案】

【解析】对分成三种情况，利用分离常数法，求得的取值范围.

详解：当时，原不等式化为恒成立，此时①.

当时，原不等式可化为，由于，，当时等号成立，故②.

当时，原不等式可化为，由于，当时等号成立，故③.

由于不等式对恒成立，故去①②③个式子的的范围的交集得.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式在给定区间上上恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查利用基本不等式求最值，综合性较强，属于中档题.

11．【答案】

【解析】将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得的值域，进而结合不等式可知；因为不等式只有一个解，因而计算后与比较即可确定这个解为；进而由不等式成立条件可得正数a的取值范围.

详解：函数，

结合打勾函数性质可知，，

关于x的不等式，因为求正数a的取值范围，

因而，化简不等式可得，

所以，即

则，

因为关于x的不等式只有一个整数解，

所以由以上数据可知整数解为，

所以，

解得，所以

故答案为：.

【点睛】

本题考查了打勾函数图像与性质的综合应用，含参数不等式的解法，对分析问题．解决问题．逻辑推理能力要求较高，属于难题.

12．【答案】

【解析】把不等式化为，解得，再结合绝对值的定义，即可求解.

详解：由题意，不等式可化为，解得，

所以或，

即不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及绝对值的定义的应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】分和两种情况讨论，在时检验即可，在时，结合题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

详解：由题意可知，关于的不等式的解集为.

当时，可得，解得，不合乎题意；

当时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.

14．【答案】

【解析】先解不等式，再根据“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集求解.

详解：因为，解得，

因为“”是“”的充分不必要条件，

所以集合是集合的真子集，

又因为，所以，

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法和简易逻辑的判定方法，还考查了转化求解的能力，属于基础题.

15．【答案】

【解析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根与系数的关系，得到和的值，得到答案.

详解：因为关于的不等式的解集是，

所以关于的方程的解是，

由根与系数的关系得，解得，

所以.

【点睛】

本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题.