北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用综合训练题

【精编】4.3 一元二次不等式的应用-1练习

一．填空题

1．已知函数在区间单调递减，则实数a的取值范围为____．

2．已知命题为假命题，则的取值范围为__________．

3．已知二次函数的图像经过点，且函数是偶函数，则函数的解析式为___________.

4．若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，b](a<b)，则称函数是定义在[a，b]上的“四维光军”函数.已知是[1，b]上的“四维光军”函数，则常数b的值为________ .

5．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是______.

6．函数(a>0)，在区间[，t+1](t∈R)上函数的最大值为M，最小值为N．当t取任意实数时，MN的最小值为2，则a=________.

7．有下列四个判断：

①若在上是增函数，则；

②函数与函数只有两个交点；

③函数的最小值是1；

④在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称.

其中正确的序号是__________.

8．在平面直角坐标系中，已知，是上的两个不同的动点，满足，且恒成立，则实数最小值是________

9．对任意实数x，不等式恒成立，则k的取值范围是______．

10．不等式的解集是________．

11．二次函数在区间上的最大值为________．

12．已知不等式的解集为，则______________．

13．函数，的值域为____________.

14．已知函数，若，且，设，则的取值范围为________.

15．不等式的解集是_____________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据函数在区间单调递减，由二次函数的对称轴 求解.

详解：因为函数的对称轴为：，

又函数在区间单调递减，

所以 ，

解得，

所以的取值范围为，

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：由命题的否定为真命题，再求出，即可得出的取值范围.

详解：命题为假命题，则命题为真命题

即，使得成立

因为，所以，即

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：由偶函数易得关于对称求参数b，根据图象过点求参数c，写出解析式即可.

详解：∵是偶函数，有，

∴关于对称，即，故，又图像经过点，

∴，可得.

故.

故答案为：

4．【答案】2

【解析】分析：利用“四维光军”函数的定义，建立定义域和值域之间的关系，即可求解.

详解：因为在 [1，b]上是增函数，且，

所以，

即，

解得或（不符合区间的定义，舍去）

故答案为：2

5．【答案】

【解析】分析：由函数的对称轴在区间的右边可得不等式

详解：函数的对称轴为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据一元二次函数的单调性求参数的取值范围，考查运算求解能力，属于基础题.

6．【答案】2

【解析】分析：求得对称轴，要使最小，与t+1必关于对称轴对称，从而最大值为，最小值为，由及对称轴可求得．

详解： (a>0)

对称轴

要使最小，与t+1必关于对称轴对称

所以   ①

   ②

联立①②得2×1010+2020=2

∴a=2.

故答案为：2.

7．【答案】③④.

【解析】分析：根据二次函数的图象与性质，可判定①不正确；结合函数与函数的图象，可判定②不正确；由，所以，可判定③正确；根据指数函数的图象，可判定④正确.

详解：对于①中，二次函数的对称方程为，

要使得函数在上时增函数，则满足，所以①不正确；

对于②中，作出函数与函数的图象，如图所示

结合图象，当时，两函数的图象只有一个交点，

当时，其中，两函数的图象有两个交点，

所以函数与函数只有两个交点，所以②不正确；

对于③中，因为，所以，所以函数的最小值是，

所以③正确；

对于④中，根据指数函数的图象，在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称，所以④正确.

故答案为：③④.

8．【答案】49

【解析】分析：因为，可知是的垂直平分线，，设，．．的长即可用表示，再利用余弦定理表示，利用数量积的定义将用表示，

，利用函数求出，即得最小值.

详解：如图圆心，，因为，

所以是的垂直平分线，设与相交于点，则点是的中点，

设，则，，

恒成立，所以

，

在中，由余弦定理得：，

所以，

，

因为，所以时，，

即

所以，故实数最小值是，

故答案为：49

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的定义，余弦定理，勾股定理，恒成立问题，求二次函数的最值，属于综合性题目，属于中档题.

9．【答案】

【解析】对任意实数x，不等式恒成立，根据二次函数图象与二次不等式解的关系可知须，解此不等式即可．

详解：∵对任意实数x恒成立，的系数

∴，

解得：，

∴k的取值范围是：．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了分析问题与解决问题的能力.

10．【答案】

【解析】将不等式变形为，解此不等式即可.

详解：由的，解得.

因此，不等式的解集是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

11．【答案】5

【解析】分析：由二次函数的图象与性质，得到函数在区间递减递增,即可求得在区间函数的最值得解．

详解：由题意，函数，可得函数在区间递减递增

，所以函数在递减,递增

所以

故答案为：5

【点睛】

熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

12．【答案】1

【解析】根据不等式的解集与方程的解的关系，代入解出方程组即可得到答案．

详解：不等式的解集为即的解集为

所以是方程对应的两个实数根.

则有，所以，即

故答案为：1

【点睛】

本题考查不等式的解集与方程的解的关系，本类题需正确理解不方程的解集与等式的解的关系，属于基础题．

13．【答案】

【解析】分析：令，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的值域.

详解：令，由于函数在上为增函数，

当时，，即，则，

，

令，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，

又，，，即.

因此，函数的值域为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查对数型复合函数值域的求解，解决本题的关键在于利用换元转化为二次函数在区间上的值域来求解.

14．【答案】

【解析】画出图象如下图所示，，令，解得，

由得，，且所以，结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为.所以的取值范围是.故答案为：

15．【答案】

【解析】由，得 ，解得 或 ，故不等式的解集是 ，故答案为.