高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数3 函数的单调性和最值同步练习题

【优选】3 函数的单调性和最值-1作业练习

一．填空题

1．已知，则函数的值域是 _______________

2．若，则___________.

3．设函数若，则的取值范围是___________.

4．函数的值域是______.

5．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的序号有______．

6．已知函数，则__________.

7．若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为___________.

8．定义：对于任意实数．，.设函数的表达式为（，常数），函数的表达式为，若对于任意，总存在使得成立，则实数的取值范围是______.

9．设若时，恒有则______

10．设f(x)是R上的可导函数，且，则f(2)的值为_____．

11．函数满足的的取值范围是___________.

12．，均有成立，则的取值范围为___________.

13．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.

14．已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________.

15．已知函数，若存在满足，则的取值范围是_____

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求出函数的值域.

详解：解：因为函数在上是增函数，

函数在上也是增函数，

所以函数在上是增函数，

所以函数的最小值为，最大值为，

所以函数的值域是.

故答案为：.

2．【答案】2

【解析】分析：根据题意，令代入即可得解.

详解：由，令，

可得，

故答案为：2

3．【答案】

【解析】分析：根据题意,分类讨论求解即可.

详解：解：当时，，解得；

当时，，解得，

综上，的取值范围是.

故答案为：

4．【答案】

【解析】分析：讨论，两种情况，分别利用基本不等式的性质求解即可.

详解：当时，，

当且仅当，即时，等号成立，

即时，；

当时，，

当且仅当时，即时，等号成立，

即时，；

函数的值域为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数值域的求法以及基本不等式的应用，属于中档题高中函数值域求法有：1．观察法，2．配方法，3．反函数法，4．判别式法；5．换元法，6．数形结合法，7．不等式法，8．分离常数法，9．单调性法，10．利用导数求函数的值域，11．最值法，12．构造法，13．比例法，要根据题意选择.

5．【答案】②

【解析】分析：首先根据所给函数的定义，及定义域和值域依次判断即可.

详解：对①，由图知：，不符合函数的定义域，故①错误；

对②，由图知：，，图象符合函数的定义，故②正确.

对③，由图知：，不符合函数的值域，故③错误；

对④，不符合函数定义，不是函数图象，故④错误.

故答案为：②

6．【答案】10

【解析】分析：先计算，再计算．

详解：由题意，所以．

故答案为：10.

7．【答案】

【解析】分析：已知不等式等价于.令，，分和两种情况，作出图形，建立不等式，解之可得答案.

详解：不等式等价于.令，，

当时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；

当时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则，即，即，

所以的取值范围是.

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：根据题意，将问题转化为，再进而根据定义求得函数，再结合求解即可.

详解：因为对于任意，总存在使得成立

所以，

当时，即时， ；

当，即时， ，

所以，

因为，

所以，解得

所以实数的取值范围是

故答案为：

9．【答案】

【解析】分析：在给定条件下，取可得a，b的关系式，再分段探讨并借助最值求得a，然后验证作答.

详解：因时，恒有，则当时，，于是得，又当时，，则，

因此，，

于是得当时，恒有，即，而在单调递减，即，，从而得，

当时，恒有，即，而在单调递减，即，，从而得，

综上得，此时，，

时，，

即当时，恒有成立，

所以，.

故答案为：

10．【答案】

【解析】分析：根据给定的不等式构造函数，其中为常数，再借助导数探讨函数的性质，然后列式计算即可得解.

详解：因f(x)是R上的可导函数，且，则令，其中为常数，

，于是得在R上不是减函数，

即，恒有，

又，则，，于是得，

因，则有，从而得，解得，

所以f(2)的值为.

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：利用分段函数的性质，讨论．情况下的解集，再取并即可.

详解：由题设，或，解得或.

∴的的取值范围是.

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：不妨设，根据已知条件可得，构造函数

，可得在上单调递减，所以对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解.

详解：不妨设，则，

由可得，

所以，

即，

所以，

令，则，

因为，所以在上单调递减，

所以对于恒成立，

所以对于恒成立，

可得对于恒成立，

所以，因为在上单调递减，

所以，

所以，

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：根据“1的妙用”方法求的最小值，再根据绝对值的几何意义求解绝对值不等式即可

详解：∵恒成立，∴，而，当且仅当，即，时等号成立，所以，解得.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：先根据在上单调递减，由求得a的范围，再根据恰好有两个不相等的实数解，作出函数的图象，利用数形结合法求得a的范围，两直取交集.

详解：由在上递减，得，

又由（且）在上单调递减，

得，解得，综上：；

作出函数在上的大致图象，如图所示：

由图象可知，在上，有且仅有一个解，

故在上，同样有且仅有一个解，

当，即时， 如图所示：

由，即，

则，解得：，

当，时，如图所示:

由图象可知，符合条件.

综上：.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：先求出该分段函数的值域，再由不等式有解求出的取值范围.

详解：当时，单调递减，则，

当时，单调递增，，

所以函数的值域为，

又存在满足，则.

故答案为：.