北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性课时训练

【精品】4.1 函数的奇偶性-1练习

一．填空题

1．已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为___________.

2．已知为奇函数，且当，则____________．

3．已知函数，若，则实数的取值范围为______．

4．设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________.

5．若函数，若实数满足，则实数的取值范围为__________.

6．若函数为偶函数，则___________.

7．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减．若，，，则，，的大小关系为______．（用符号“”连接）

8．设是定义在上的奇函数，且，当时，若，则___________.

9．定义在上的偶函数对于任意的有，且当，时，，若函数在上只有六个零点，则实数__.

10．已知奇函数的周期为2，且当时，，则的值为_______．

11．同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程．航海．光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是______．

①如果，那么函数为奇函数；

②如果，那么为单调函数；

③如果，那么函数没有零点；

④如果那么函数的最小值为2.

12．函数是定义在上的奇函数，当时，，则______．

13．若函数 是周期为4的奇函数，且在上的解析式为 ，则 ___________

14．若偶函数的图像关于对称，当时，，则函数在上的零点个数是__________.

15．设函数为奇函数，则实数______

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：推导出当时，，利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.

详解：当时，，

又因为函数是定义在上的偶函数，

则，

，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：函数的三个性质：单调性．奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合．周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题．填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；

（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇．偶函数图象的对称性．

（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；

（3）周期性．奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

2．【答案】

【解析】因为为奇函数，所以．

考点：函数的奇偶性．

3．【答案】

【解析】分析：利用导数判断单调性，结合函数奇偶性，将目标不等式进行等价转化，再求一元二次不等式即可．

详解：解：因为，且其定义域为，故是奇函数：

又，故在上单调递增．

故，

也即

故可得，即，

，

解得．

故答案为：．

4．【答案】

【解析】分析：先求出函数是定义在上的解析式，再分别讨论与在大于0和小于0时列出不等式，最后求并集.

详解：由于函数是定义在上的奇函数，且当时，，

当时，，，此时，. 又，

综上所述，.

①当时，由，得，解得，此时，；

②当时，即当时，

由得，整理得，解得，此时；

③当由得，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为 .

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：解决本题类型的问题关键在于由已知奇函数部分解析式求定义域上奇函数解析式，并分段讨论求不等式解集.

5．【答案】

【解析】分析：根据偶函数的定义可知为偶函数，所以，又当时，为增函数，将原不等式化为，根据单调性可解得结果.

详解：因为，

所以为偶函数，所以，

当时，为增函数，

所以，

所以，所以，即，得.

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：由偶函数的定义求出参数即可.

详解：因为，定义域，

又，

由，则对任意都成立，

故，解得，

故答案为：

【点睛】

正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

7．【答案】

【解析】分析：利用偶函数将所有自变量变换到大于0进行比较，再利用函数单调性得到答案.

详解：因为函数是定义在R上的偶函数，

所以，，

由在上单调递减知，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：根据偶函数的性质，转化为上进行自变量的大小比较是解题的关键，属于中档题.

8．【答案】2

【解析】分析：由题得函数是周期为5的函数，进而根据周期性与奇偶性得，带入已知解析式即可得

详解：依题意有是周期为5的函数，

所以.

又为奇函数，

所以.

所以.

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数的周期性，奇偶性的应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据周期性和奇偶性将转化为，进而求解.

9．【答案】.

【解析】由，得到函数是以2为周期的周期函数，结合当，时，，画出函数的图象，然后利用数形结合法求解即可.

详解：由函数是定义在上的偶函数，且成立，

可得，

函数是定义在上的周期为2的偶函数，

当，时，.

函数在上的零点个数等于函数和函数的图象在上的交点个数，如图所示：

当的图象过点时，函数在上有六个零点，

，

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查的函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，函数的零点与方程的根的关系，还考查了转化化归的思想和数形结合的数学思想，属于中档题.

10．【答案】1

【解析】分析：由条件可得，然后可得答案.

详解：因为奇函数的周期为2，且当时，

所以

故答案为：1

11．【答案】②③

【解析】分析：利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质对①②③④逐一分析即可得到结论.

详解：对①：当时，函数，此时为偶函数，故①错误.

对②：当时，令，函数在其定义域上为单调递增函数，函数在其定义域上也为单调递增函数，故函数在其定义域上为单调递增函数；当，函数在其定义域上为单调递减函数，函数在其定义域上也为单调递减函数，故函数在其定义域上为单调递减函数；综上：如果，那么为单调函数；故②正确.

对③：当时，函数，

当时，函数；

综上：如果，那么函数没有零点；故③正确.

对④：由，则，

当时，函数；

当时，函数；

故时，函数没有最小值；故④错误.

故答案为：②③

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性和最值的应用，考查基本不等式，考查指数函数的性质，属于中档题.

12．【答案】

【解析】，又因为函数是奇函数，

.

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，分析可得，，由函数的解析式可得与的值，将其相加即可得答案．

详解：根据题意，函数是周期为4的奇函数，

则，，

又由函数在，上的解析式为

则，，

则，

故答案为：

【点睛】

方法点睛：对于周期函数求值，一般要利用周期先把函数的自变量转化到已知函数的定义域内，再求值.

14．【答案】26

【解析】先确定函数周期，再根据周期作与图象，最后根据交点个数确定结果.

详解：因为偶函数的图像关于对称，

所以周期为3

因为当时，，

所以当时，，

因此当时，，

因为

所以当时，有一个交点；当时，有两个交点；当时，有两个交点；当时，有两个交点；当时，有两个交点；当时，有两个交点；当时，有两个交点；

从而当时，共有个交点；（原点不是交点）

根据偶函数对称性，当时，共有个交点；

故答案为：26

【点睛】

本题考查函数周期．偶函数性质．函数零点个数，考查数形结合思想方法，属基础题.

15．【答案】

【解析】函数的定义域是，是奇函数，，，根据，即，得，

当时，，，

满足函数是奇函数，所以.故答案为：