高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 函数的表示法第1课时综合训练题

2.2　函数的表示法

第1课时　函数的表示法

A级必备知识基础练

1.(多选题)下列四个图形中可能是函数y=f(x)图象的是(　　)

2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=(　　)

A.x+1 B.x-1

C.2x+1 D.3x+3

3.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)=,f(f(2))=　　　　. 

4.对于定义域为R的函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:

则f(f(f(0)))=　　　　　. 

5.作出下列函数的图象,并指出其值域:

(1)y=x2+x(-1≤x≤1);

(2)y=(-2≤x≤1,且x≠0).

6.已知f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求f(x)的解析式.

B级关键能力提升练

7.(2022北京第八中学京西校区高一期末)已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),满足f(2)=1,且对于定义域内任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,那么f(2)+f(4)的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

8.已知f=x-1,则f(x)的解析式为(　　)

A.f(x)=(x≠1) B.f(x)=-1(x≠0)

C.f(x)=(x≠1) D.f(x)=(x≠0)

9.定义两种运算:a⊕b=,a⊕b=,则函数f(x)=的解析式为(　　)

A.f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2]

B.f(x)=,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)

C.f(x)=-,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)

D.f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2]

10.小明在如图①所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图象大致如图②所示,则这个固定位置可能是图①中的(　　)

　　　　图①　　　　　　图②

A.点M B.点N C.点P D.点Q

11.已知函数f(x),g(x)由下表给出:

则g(f(7))=　　　;不等式g(x)<f(x)的解集为　　　　　. 

12.已知f(+1)=x,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　　. 

13.

如图所示,用长为l的铁丝弯成下半部分为矩形,上半部分为半圆形的框架,若矩形的底边长为2x,求此框架围成的图形的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.

14.已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,并求f(f(-3))的值.

C级学科素养创新练

15.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,试求f(2 022)的值.

2.2　函数的表示法

第1课时　函数的表示法

1.AD　在A,D中,对于定义域内每一个x都有唯一确定的y与之相对应,满足函数关系;在B,C中,存在一个x有两个y与x对应,不满足函数对应的唯一性.

2.A　因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,

所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.

3.　4　由题图可知f(-5)=,f(2)=0,f(0)=4,

故f(f(2))=f(0)=4.

4.2　由列表表示的函数可得f(0)=3,

则f(f(0))=f(3)=-1,f(f(f(0)))=f(-1)=2.

5.解(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示.

由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为.

(2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示.

①

②

由图可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).

6.解(方法一)由于函数图象的顶点坐标为(1,3),

则设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0).

∵函数图象过原点(0,0),∴a+3=0,∴a=-3.

故f(x)=-3(x-1)2+3.

(方法二)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

依题意得

即解得

∴f(x)=-3x2+6x.

7.C　∵对于定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,

∴f(2)+f(4)=1+2=3.故选C.

8.B　设=t,则t≠0,∴x=,

∴f(t)=-1(t≠0),

∴f(x)=-1(x≠0).

9.D　∵f(x)=.

由得-2≤x≤2,且x≠0.

∴f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2].

10.D　由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去N,M点,不选A,B;若是P点,则从最高点到C点依次递减,与题图①矛盾,因此取Q,即选D.

11.5　{4,7}　f(7)=7,g(f(7))=g(7)=5.

当x=4时,f(4)=5,g(4)=4,

所以f(4)>g(4),满足不等式;

当x=5时,f(5)=4,g(5)=7,不满足不等式;

当x=6时,f(6)=8,g(6)=8,不满足不等式;

当x=7时,f(7)=7,g(7)=5,满足不等式;

当x=8时,f(8)=6,g(8)=6,不满足不等式,

所以不等式g(x)<f(x)的解集为{4,7}.

12.f(x)=x2-x+1(x≥1)　令t=+1,则t≥1.

所以x=(t-1)2+.

故f(t)=(t-1)2+(t≥1).

所以函数解析式为f(x)=x2-x+1(x≥1).

13.解由题意知矩形的边AB=2x,

设AD=a,则有2x+2a+πx=l,即a=x-x,其中半圆的直径为2x,半径为x.

所以框架围成的图形的面积y=πx2+x-x2x=-x2+lx.

根据实际意义知x-x>0,又x>0,解得0<x<.故函数y=-x2+lx,其定义域为.

14.解由f(x)=x,得=x,即ax2+(b-1)x=0.

∵方程f(x)=x有唯一解,

∴Δ=(b-1)2=0,即b=1.

∵f(2)=1,∴=1.∴a=.

∴f(x)=.

∴f(f(-3))=f(6)=.

15.解∵f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,

令x=y=0,得f(1)=1-1-0+2,

∴f(1)=2.

令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,

∴f(x)=x+1,

∴f(2022)=2022+1=2023.