北师大版（2019）必修第一册2-3第1课时函数的单调性作业含答案
展开§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
A级必备知识基础练
1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=2x+1 B.y=x2+7
C.y=3-x D.y=x2+2x+1
2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
3.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)
C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)
4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)<f(1-a),则实数a的取值范围是( )
A.,+∞ B.,1
C.(0,2) D.(0,+∞)
5.函数y=f(x)(x∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.[-4,-2] B.[-2,1]
C.[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]
6.(多选题)下列命题是假命题的有( )
A.定义在区间(a,b)上的函数f(x),如果有无数个x1,x2∈(a,b),当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在区间(a,b)上为增函数
B.如果函数f(x)在区间I1上单调递减,在区间I2上也单调递减,那么f(x)在区间I1∪I2上单调递减
C.任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当<0时,函数f(x)在区间(a,b)上单调递减
D.任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0时,函数f(x)在区间(a,b)上单调递增
7.若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
8.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m= .
9.(2022福建福州高一期末)已知函数f(x)=,且f(1)=.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在区间(-∞,0]上的单调性并用定义证明.
B级关键能力提升练
10.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1)
D.(0,1]
11.下列有关函数单调性的说法不正确的是( )
A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数
B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数
C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数
D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数
12.若函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是( )
A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]
B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]
D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
13.若函数f(x)=是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为 .
14.已知函数f(x)=,若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2),则实数a的取值范围是 .
15.已知函数f(x)=mx+(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.
C级学科素养创新练
16.已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为 .
17.设f(x)是定义在R上的函数,对任意m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.
§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
1.ABD 函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.
2.B 易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为直线x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).
3.D 选项D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)<f(a).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.
4.B 因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)<f(1-a),所以解得<a<1,所以实数a的取值范围是,1.故选B.
5.B
6.AB A是假命题,“无数个”不能代表“所有”“任意”;
以f(x)=为例,知B是假命题;
∵<0(x1≠x2)等价于[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0,
而此式又等价于
即
∴f(x)在区间(a,b)上单调递减,C是真命题,同理可得D也是真命题.
7.B 由于函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-<0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上单调递减.
8.-8 ∵函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴对称轴x=-=-2,
∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.
9.解(1)由f(1)=,得1-(a-1)+2a=3,
解得a=1.
(2)由(1)知f(x)=,其定义域为R,f(x)在区间(-∞,0]上单调递减.
证明如下:
任取x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=
=
=
=
=.
因为x1≤0,x2≤0,且x1<x2,
所以x1+x2<0,x1-x2<0,>0,
则f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),
故f(x)在区间(-∞,0]上单调递减.
10.D f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,
∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴a≤1.
∵g(x)=在区间[1,2]上单调递减,
∴a>0,∴0<a≤1.
11.C 根据增函数、减函数的定义,知两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x))为减函数,选项D正确;对于C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.
12.D 因为a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a,
又函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,
所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
13.[-3,-1] 由题意可得解得-3≤a≤-1,则实数a的取值范围是[-3,-1].
14. 由“若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2)”可知函数f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.而f(x)==a+,故有1-2a<0,解得a>,即a的取值范围为.
15.解(1)∵f(1)=m+=2,f(2)=2m+,∴
(2)f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.证明如下,
由(1)得f(x)=x+.
设1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+=(x1-x2)=(x1-x2)·.
∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,∴2x1x2-1>1,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,
∴只需1+2x2>x2-2x+4,
∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.
即实数x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).
16.(-∞,16] 任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=·[x1x2(x1+x2)-a].
要使函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f(x2)-f(x1)>0在[2,+∞)上恒成立.
∵x2-x1>0,x1x2>4>0,
∴a<x1x2(x1+x2)恒成立.
又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16,
即a的取值范围是(-∞,16].
17.证明(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),
∵f(n)≠0,∴f(0)=1.
(2)由题意知,当x>0时,0<f(x)<1;
当x=0时,f(0)=1>0;
当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1.
∵f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x)=1,
∴f(x)=>0.
故x∈R时,恒有f(x)>0.
(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,
则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).
∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].
由(2)知,f(x2)>0.
∵x1-x2>0,∴0<f(x1-x2)<1,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
故f(x)在R上是减函数.
