高中4.1 函数的奇偶性同步测试题

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数

4.1　函数的奇偶性

A级必备知识基础练

1.(多选题)下列函数是奇函数的有(　　)

A.y= B.y=-3x

C.y=x- D.y=πx3-x

2.(2022安徽合肥高一期末)若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上(　　)

A.单调递增,且有最小值f(1)

B.单调递增,且有最大值f(1)

C.单调递减,且有最小值f(2)

D.单调递减,且有最大值f(2)

3.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是.

4.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则f(3),f(-2),f(1)的大小关系为　　　　　　　　. 

5.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))=　　　　　. 

6.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=　　　　　. 

7.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.

(1)画出在区间[-5,0]上的图象;

(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.

8.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.

9.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:

①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数;

③f(1-a)+f(1-a2)<0.

求实数a的取值范围.

B级关键能力提升练

10.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)

A.f(x)g(x)是偶函数 

B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数 

D.|f(x)g(x)|是奇函数

11.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上(　　)

A.有最小值-5 B.有最大值-5

C.有最小值-1 D.有最大值-3

12.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是(　　)

A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)

B.[-4,-2]∪[0,+∞)

C.(-∞,-2]∪[2,+∞)

D.(-∞,-4]∪[0,+∞)

13.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=　　　　　. 

14.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是　　　　　. 

15.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是　　　　　　　　. 

16.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.

(1)求出函数f(x)的解析式;

(2)求出函数f(x)的值域.

C级学科素养创新练

17.(2021吉林高一月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)求出函数f(x)在R上的解析式;

(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值.

4.1　函数的奇偶性

1.BCD　先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.

2.C　因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.

3.[0,+∞)　因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,

所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).

4.f(3)<f(-2)<f(1)　由已知条件可知f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(3)<f(2)<f(1).

再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1).

5.-81　当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,

所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,

所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4,

因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.

6.-26　令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.

因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,

所以h(-2)=f(-2)+8=18,

所以h(2)=-h(-2)=-18,

所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.

7.解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.

由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.

(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).

8.解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,

则f(-x)=x2-3x+2,

故f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.

∴当x∈时,f(x)单调递增;

当x∈时,f(x)单调递减.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f,f(x)min=f(3)=-2.

∴m=,n=-2,从而m-n=.

9.解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1),

∴f(1-a)+f(1-a2)<0⇒f(1-a)<-f(1-a2)

⇒f(1-a)<f(a2-1).

∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,

∴解得0<a<1,

故实数a的取值范围为(0,1).

10.C　∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,

∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).

对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;

对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;

对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;

对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.

11.C　∵函数f(x)和g(x)都是奇函数,

∴F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.

又F(x)在区间(0,+∞)上有最大值5,

∴F(x)-2在区间(0,+∞)上有最大值3,

F(x)-2在区间(-∞,0)上有最小值-3,

∴F(x)在区间(-∞,0)上有最小值-1.

12.A　g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,

由xf(x)≤0可知

结合图象可知x≥0或-2≤x<0或x≤-4.

故不等式xf(x)≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A.

13.-15　根据题意,f(x)是定义在区间(-8,a)上的奇函数,则a=8.又由f(x)在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f(6)=a=8,f(3)=-1.

函数f(x)是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1.

则2f(-6)+f(-3)=2×(-8)+1=-15.

14.(-7,3)　因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,

所以|x+2|<5,解得-7<x<3,

所以不等式f(x+2)的解集是(-7,3).

15.{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}　不等式<0可化为f(x)g(x)<0,

由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).

∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,

∴f(x)g(x)是奇函数,

∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).

综上,不等式<0的解集是{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}.

16.解(1)∵f(x)的图象经过点(-2,0),

∴0=-2+b,即b=2.∴当x≤-1时,f(x)=x+2.

∵f(x)为偶函数,

∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2.

当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0),

则1=a·(-1)2+2,∴a=-1.

∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2.

综上,f(x)=

(2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1];

当-1<x<1时,f(x)=-x2+2∈(1,2];

当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1].

综上所述,f(x)的值域为(-∞,2].

17.解(1)由题意知当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,

此时函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).

又函数f(x)为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0),

所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).

(2)设x<0,则-x>0,

所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,

由已知f(x)=f(-x),

所以当x<0时,f(x)=x2+2x,

所以f(x)=

(3)由(2)可得g(x)=x2-(2a+2)x+2,x∈[1,2],

对称轴为直线x=a+1.

当a+1<1,即a<0时,函数g(x)在区间[1,2]上单调递增,

故函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a;

当1≤a+1≤2,即0≤a≤1时,函数g(x)在对称轴处取得最小值,

故函数g(x)的最小值为g(1+a)=-a2-2a+1;

当a+1>2,即a>1时,函数g(x)在区间[1,2]上单调递减,

故函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a.

综上,函数g(x)的最小值为g(x)min=