必修 第一册5 信息技术支持的函数研究精练

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

*§5　信息技术支持的函数研究

A级必备知识基础练

1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(　　)

A.一次函数 

B.幂函数

C.指数型函数 

D.对数型函数

2.(多选题)有一组实验数据如表所示:

则下列所给函数模型较不适合的有(　　)

A.y=logax(a>1) 

B.y=ax+b(a>1)

C.y=ax2+b(a>0) 

D.y=logax+b(a>1)

3.(2021安徽繁昌第一中学高一开学考试)某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快,对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现,该植物在水面的覆盖面积y(单位:m2)与经过的时间t(单位:月,t∈N)的关系为y=8×t,则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1 000倍需要的时间(单位:月)为(　　)参考数据:lg ≈0.125

A.20 B.22 C.24 D.26

4.(多选题)以下四种说法中,不正确的是(　　)

A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B.对任意的x>0,xa>logax

C.对任意的x>0,ax>logax

D.一定存在x0,使x>x0,总有ax>xn>logax

5.某电脑公司六年来电脑总产量y(单位:台)与生产时间x(单位:年)的函数关系如图.有下列说法:①前三年产量增长速度越来越快;②前三年产量增长速度越来越慢;③后三年这种产品停止生产;④后三年产量保持不变.其中说法正确的是　　　　.(填序号) 

6.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:

关于x呈指数函数变化的变量是　　　　　. 

7.某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该商场的要求?

B级关键能力提升练

8.当0<x<1时,f(x)=x2,g(x)=,h(x)=的大小关系是(　　)

A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x)

C.g(x)<h(x)<f(x) D.f(x)<g(x)<h(x)

9.如图所示的是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有(　　)

①这几年人民生活水平逐年得到提高;

②人民生活费收入增长最快的一年是2018年;

③生活费价格指数上涨速度最快的一年是2019年;

④虽然2020年生活费收入增长是缓慢的,但由于生活费价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善.

A.1项 B.2项 C.3项 D.4项

10.某企业常年生产一种出口产品,根据调查可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lox+a.

(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的函数关系式(所求a或b的值保留1位小数);

(2)受某些因素影响,预测2023年的年产量比预计减少30%,试根据所选择的函数模型,确定2023年的年产量.

11.若不等式3x2-logax<0在x∈0,内恒成立,求实数a的取值范围.

C级学科素养创新练

12.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.

(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的关系式;

(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时面积的10倍以上的最小月份(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

　*§5　信息技术支持的函数研究

1.D　初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系.

2.ABD　由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.

3.C　刚投放时的面积为y=8×0=8,

设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1000倍,

则8×t=8×1000,t=lo1000==24.故选C.

4.ABC

5.②④　结合图象的增长趋势易得出②④正确.

6.y2　从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.

从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2.

7.解在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).

观察图象可知,在区间[5,100]内,函数y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合商场的要求.

8.D　在同一坐标系下作出函数f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.

9.C　由题意,“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是逐年增大的,故①正确;“生活费收入指数”在2018~2019年最陡,故②正确;“生活费价格指数”在2018~2019年上涨最快,故③不正确;由于“生活费价格指数”略呈下降趋势,而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势,故④正确.

10.解(1)符合条件的是f(x)=ax+b.

理由如下:

若模型为f(x)=lox+a,则f(x)是减函数,与已知不符.若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知数据相差太大,不符合.

则近似符合的模型为f(x)=ax+b.

由已知得解得

所以f(x)=1.5x+2.5,x∈N+.

(2)2023年的预计年产量为f(7)=1.5×7+2.5=13(万件),所以13×(1-30%)=9.1(万件),即预测2023年的年产量为9.1万件.

11.解由题意,知3x2<logax在x∈0,内恒成立,

∴0<a<1,且y=logax的图象必过点A或在这个点的上方,则loga.∴a≥,∴≤a<1.

综上,a的取值范围是,1.

12.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k>0,a>1)更合适.由题意可知,x=2时,y=24,x=3时,y=36.所以解得所以该函数模型的关系式是y=(x∈N+).

(2)当x=0时,y=,所以元旦放入时凤眼莲的面积是m2.

由>10×,得>10,

所以x>lo10=.

因为≈5.7,所以x≥6,所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时凤眼莲面积的10倍以上的最小月份是6月份.