北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性测试题

§1　方程解的存在性及方程的近似解

1.1　利用函数性质判定方程解的存在性

A级必备知识基础练

1.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)

2.(2022内蒙古包头高一期末)函数f(x)=3x+ex的零点所在区间为(　　)

A.(-2,-1) 

B.(-1,0) 

C.(0,1) 

D.(1,2)

3.函数f(x)=x3-的零点个数是(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.无数个

4.(多选题)已知函数f(x)=x-log2x,0<a<b<c,f(a)·f(b)·f(c)<0,实数d是函数f(x)的一个零点,给出下列四个判断,其中可能成立的是(　　)

A.0<d<a 

B.c>d>b 

C.d>c 

D.a<d<c

5.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为(　　)

A.(-1,0) B.(0,1)

C.(1,2) D.(2,3)

6.已知函数f(x)=则该函数零点的个数为　　　　. 

7.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　　. 

8.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.

B级关键能力提升练

9.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是(　　)

A.a<α<b<β B.a<α<β<b

C.α<a<b<β D.α<a<β<b

10.方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k-1,k)(k∈N),则k的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

11.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则(　　)

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

12.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是　　　　　. 

13.已知函数f(x)=若f(x0)=-1,则x0=　　　　　,若关于x的方程f(x)=k有两个不同零点,则实数k的取值范围为　　　　　. 

C级学科素养创新练

14.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,如果函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,则实数a的值为　　　　　　. 

1.1　利用函数性质判定方程解的存在性

1.A

2.B　函数f(x)=3x+ex为R上的增函数,且f(-2)=-6+e-2<0,f(-1)=-3+e-1<0,f(0)=1>0,所以f(-1)·f(0)<0,因此,函数f(x)=3x+ex的零点所在区间为(-1,0).故选B.

3.B　作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.

4.ABD　由于y=x在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)=x-log2x在定义域(0,+∞)上是减函数,当0<a<b<c时,f(a)>f(b)>f(c),又因为f(a)·f(b)·f(c)<0,f(d)=0,所以①当f(a),f(b),f(c)都为负值时,则a,b,c都大于d,②当f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0时,则a,b都小于d,c大于d.综合①②可得d>c不可能成立.

5.C　由列表可知f(-1)=g(-1)+1-3=0.37-2=-1.63,f(0)=g(0)-0-3=1-3=-2,f(1)=-1.28,f(2)=2.39,f(3)=14.39,∵f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)的一个零点所在的区间为(1,2).

6.3　当x<0时,由f(x)=0,得x=-4,当x≥0时,由f(x)=0,得x=4或x=0.故函数共有3个零点.

7.(0,2)　因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根.即|2x-2|=b有两个实根.

令y1=|2x-2|,y2=b,则y1与y2的图象有两个交点.

由图可知当b∈(0,2)时,y1与y2有两个交点.

8.解令x2-mx+a-m=0,由于函数f(x)对任意的实数m恒有零点,故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,即a≤+m对任意的实数m恒成立.∵+m=(m+2)2-1≥-1,∴a≤-1.∴实数a的取值范围是(-∞,-1].

9.C　∵α,β是函数f(x)的两个零点,∴f(α)=f(β)=0.

又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.

10.B　令f(x)=ex-x-2,在定义域R上为连续函数,

又f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,

所以方程ex-x-2=0的一个实根必在(1,2),

所以k=2.

故选B.

11.B　设y1=2x,y2=,在同一直角坐标系中作出其图象,如图所示,在区间(1,x0)内函数y2=的图象在函数y1=2x图象的上方,即,所以<0,即f(x1)<0,同理f(x2)>0.

12.a<b<c　画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示.

观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c.

13.-1　(0,1)　由方程f(x0)=-1得解得x0=-1,关于x的方程f(x)=k有两个不同零点等价于y=f(x)的图象与y=k有两个不同的交点,观察图象可知,当0<k<1时,符合题意.

14.8-2　由f(x+1)=f(x-1),则f(x)=f(x-2),故函数f(x)为周期为2的周期函数.

∵函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,

∴f(x)-a|x|=0在(-∞,0)上有四个解,

即f(x)的图象与直线y=a|x|在(-∞,0)上有4个公共点.又当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,

∴当直线y=-ax与y=-(x+4)2+1相切时,即可在(-∞,0)上有4个公共点,

∴x2+(8-a)x+15=0.∴Δ=(8-a)2-60=0.

∵a>0,∴a=8-2.