高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示习题

课时作业(一)　集合的概念与表示

1．给出下列关系：

①∈R；②∈Q；③|－3|∉N＋；④|－|∉Q.

其中正确的个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案：B

2．下列六种表示法：

①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1，或y＝2}．

其中能表示方程组的解集的是(　　)

A．①②③④⑤⑥  B．②④⑤

C．②⑤  D．②⑤⑥

答案：C　

解析：由集合的表示方法知，方程组的解为有序数对，所以①错误；③不是数对构成的集合；④不是集合；⑥应为x＝－1，且y＝2.故应选C.

3．下列四个命题：

①集合N中最小的正数是1；

②0∈∅；

③方程x2－6x＋9＝0的解集是{3,3}；

④{4,3,2}与{3,2,4}是两个不同的集合．

其中正确的个数有(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案：B

4．将集合{2,4,6,8}用描述法表示正确的有(　　)

①{x|x是大于0且小于10的偶数}；②{x|2≤x≤8}；③{x|(x－2)(x－4)(x－6)(x－8)＝0}；④{x|x是2的倍数}；⑤{x|x＝2n,1≤n≤4，n∈N}．

A．①②③   B．①③④

C．②③⑤   D．①③⑤

答案：D　

解析：②是无限集，表示2到8的所有实数；④表示为2的倍数的所有实数，也是无限集；①③⑤正确．

故应选D.

5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为(　　)

A．2   B．2或4 

C．4   D．0

答案：B　

解析：若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.

故应选B.

6．设集合A＝{a|a＝n2＋1，n∈N＋}，集合B＝{b|b＝k2－4k＋5，k∈N＋}，若a∈A，则a与B的关系是(　　)

A．a∈B   B．a∉B

C．a∈B或a∉B   D．不能确定

答案：A　

解析：b＝k2－4k＋5＝(k－2)2＋1.∵n∈N＋，∴a＝n2＋1≥2，∵k∈N＋，∴b＝(k－2)2＋1≥1，∴当a∈A时，a∈B.

7．用符号“∈”或“∉”填空：

(1)π________Q；(2)0________N；

(3)________Z；(4)________R.

答案：(1)∉　(2)∈　(3)∉　(4)∈

8．已知x∈{1,2，x2}，则x＝__________.

答案：0或2　

解析：由题意知x＝1或x＝2或x＝x2，得x＝1或x＝2或x＝0.再由元素的互异性，得x＝0或2.

9．已知集合A是方程x2＋px＋q＝x的解集，B是方程x2＋px－q＝0的解集，若集合A中只有一个元素2，则集合B＝________.

答案：{－1,4}　

解析：∵集合A中只有一个元素2，

∴方程x2＋px＋q－x＝0有且仅有一个解x＝2.

∴解得

∴方程x2＋px－q＝0化为x2－3x－4＝0，

∴x＝－1或4，∴B＝{－1,4}．

10．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．

答案：10　

解析：当x＝5时，y＝1,2,3,4；

当x＝4时，y＝1,2,3；

当x＝3时，y＝1,2；

当x＝2时，y＝1.

综上，B中含有10个元素．

11．用区间表示下列数集：

(1){x|x≥5}＝________；

(2){x|2≤x<8}＝________.

答案：(1)[5，＋∞)　(2)[2,8)

12．用列举法把下列集合表示出来：

(1)A＝；

(2)B＝；

(3)C＝{y|y＝－x2＋9，x∈N，y∈N}；

(4)D＝{(x，y)|y＝－x2＋9，x∈N，y∈N}．

解：(1)∵∈N，x∈N，∴x＝2,5,6,7.

∴A＝{2,5,6,7}．

(2)由(1)知B＝{1,2,3,6}．

(3)C＝{0,5,8,9}．

(4)D＝{(0,9)，(1,8)，(2,5)，(3,0)}．

13．设x，y，z是非零实数，若a＝＋＋＋.试求以a的值为元素的集合A中所含元素的个数．

解：当x，y，z都为正数时，原式为4；

当x，y，z都为负数时，原式为－4；

当x，y，z两正一负时，原式为0；

当x，y，z一正两负时，原式为0.

故A中所含元素为4，－4,0，共3个．

14．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}．

(1)若A＝∅，求a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值；

(3)若A中至多有一个元素，求a的值．

解：(1)∵A＝∅，∴方程ax2＋2x＋1＝0无实根，

当a≠0时，Δ＜0⇒a>1；

当a＝0时，x＝－.∴a>1.

综上知，a的取值范围是(1，＋∞)．

(2)A中只有一个元素等价于方程ax2＋2x＋1＝0只有一实根或有两相等实根．

若a≠0，则Δ＝0，解得a＝1，此时x＝－1.

若a＝0，则x＝－.

∴当a＝0或a＝1时，A中只有一个元素．

(3)A中至多有一个元素等价于方程ax2＋2x＋1＝0至多有一解或两相同实根．

∴或a＝0.∴a≥1或a＝0.

∴当a≥1或a＝0时，A中至多有一个元素．

15．设S为数集，并且满足：(1)1∉S；(2)若a∈S，则∈S.

求证：若m∈S，则1－∈S.

证明：因为m∈S，所以∈S.

所以＝＝＝1－∈S.

所以若m∈S，则1－∈S.