高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式习题

课时作业(十)　基本不等式

1．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是(　　)

A．(a＋b)2≥4ab

B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合

C．(a－b)2≤4ab

D．(a＋b)2>(a－b)2

答案：C

2．不等式a2＋b2≥2|ab|成立时，实数a，b一定是(　　)

A．正数        B．非负数

C．实数        D．不存在

答案：C

3．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　)

A．   B．

C．    D．

答案：A

4．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)

A．m>n        B．m<n

C．m＝n        D．不确定

答案：A

5．已知当x＝a时，代数式x－4＋(x>－1)取得最小值b，则a＋b＝(　　)

A．－3        B．2

C．3        D．8

答案：C

6．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝________.

答案：36

7．下列不等式的证明过程：

①若a，b∈R，则＋≥2＝2.

②若x，y∈R，则＝|x|＋≥2.

③若a，b∈R，ab<0，则＋＝－≤－2＝－2.

其中正确的序号是________．

答案：③

8．已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的取值为________．

答案：3　2

9．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．

答案：－4

10．(1)x>0时，求x＋＋2的最小值；

(2)0<x<时，求2x(5－2x)的最大值．

解：(1)因为x>0，

所以x＋＋2≥2＋2＝8，

当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，

即x＋＋2的最小值是8.

(2)因为0<x< ，所以5－2x>0，所以2x(5－2x)≤2＝，当且仅当2x＝5－2x，即x＝时，等号成立，即2x(5－2x)的最大值为.

11．求t＝x＋的取值范围．

解：当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时，等号成立，所以x＋≥2.

当x<0时，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．所以x＋≤－2.

故t＝x＋的取值范围为{t|t≤－2，或t≥2}．

12．设x>－1，求的最小值．

解：因为x>－1，所以x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有：

＝＝

＝t＋＋5≥2＋5＝9.

当且仅当t＝，即t＝2时等号成立，此时x＝1.

所以当x＝1时，取得最小值是9.