高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 函数的表示法同步达标检测题

课时作业(十五)　函数的表示法

1．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，在同一坐标系下，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为(　　)

A．0        B．1

C．2        D．0个或1个均有可能

答案：B　

解析：由函数定义，x＝1∈[－1,5]时，只对应一个y值．故应选B．

2．若a＋b＝0，则函数y＝ax＋b的图象可能是(　　)

A　　　　　B　　 　　C　 　 　D

答案：C　

解析：∵a＋b＝0，∴在y＝ax＋b中，当x＝1时y＝0，即函数图象过(1,0)点，由图象知C成立．故应选C．

3．设f(x)＝则f＝(　　)

A．    B．

C．－    D．

答案：B　

解析：∵f＝－2＝－，

∴f＝＝.故应选B．

4．已知f(2x)＝2x＋3，则f(x)＝(　　)

A．x＋        B．x＋3

C．＋3        D．2x＋3

答案：B　

解析：令2x＝t，则f(t)＝t＋3，∴ f(x)＝x＋3.

故应选B．

5．函数f(x)＝的值域是(　　)

A．        B．(0,1)

C．        D．(0，＋∞)

答案：D　

解析：当x<1时，f(x)＝x2－x＋1＝2＋≥，当x＞1时，f(x)＝∈(0,1)，

∴f(x)的值域为(0,1)∪＝(0，＋∞)．

6．已知函数f(x)满足f(x)－f＝x2，则f(x)的表达式为________________．

答案：f(x)＝(x≠0)

解析：∵f(x)－f＝x2，

∴以代替x，得f－f(x)＝，

联立两式消去f，得

f(x)＝(x≠0)．

7．设f(x)＝则f＝

________，f(x)的定义域为____________，f(x)的值域为__________．

答案：　[－1,0)∪(0，＋∞)　(－1,2)∪{3}

解析：∵f＝2×＋2＝，

∴f＝－×＝－，

∴f＝2×＋2＝.

即f＝.

f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,2)∪[2，＋∞)＝[－1,0)∪(0，＋∞)，

又当x∈[－1,0)时，f(x)∈[0,2)；当x∈(0,2)时，f(x)∈(－1,0)；当x≥2时，f(x)＝3.

∴f(x)∈(－1,2)∪{3}．

8．已知函数f(x)在[－1，2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为________．

答案：f(x)＝

解析：当－1≤x≤0时，设y＝ax＋b，

∵函数f(x)图象过点(－1,0)和(0,1)，

∴解得

同样当0<x≤2时，有

∴f(x)＝

9．有一个附有进出水管的容器，每单位时间进出的水量都是一定的，设从某时刻开始5 min内只进水，不出水，在随后的15 min内既进水又出水，得到时间x(min)与水量y(L)之间关系如图，若20 min后，只放水，不进水，则这时(即x≥20 min)，y与x之间的函数关系式是________．

答案：y＝－3x＋95　

解析：由第一段函数知，每分钟进水4 L．由第二段函数知，每分钟进水比出水多1 L，故每分钟出水3 L.

设x≥20时，y＝ax＋b.

则当x＝20时，y＝35，即35＝20a＋b，①

放完水还需 min，所以当x＝20＋时，y＝0，

即0＝a＋b，②

由①②解得a＝－3，b＝95，

所以y＝－3x＋95.

10．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ＝16，φ(1)＝8，求φ(x)的解析式．

解：设f(x)＝ax(a≠0)，g(x)＝(b≠0)(a，b为常数)，则φ(x)＝f(x)＋g(x)＝ax＋.

由题意，得得解得

∴φ(x)＝3x＋.

11．如图，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．

解：设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b(x≤1)，

则解得

∴左侧射线的解析式为y＝－x＋2(x≤1)，

同理当x≥3时，右侧射线的解析式为y＝x－2(x≥3)．

再设抛物线对应的二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)，

∴a＋2＝1，a＝－1，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．

综上，函数的解析式为y＝

12．如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域．

解：∵AB＝2x，

∴＝πx，AD＝.

∴y＝2x·＋

＝－x2＋lx.

由解得0<x<.

∴函数关系式为y＝－x2＋lx，

其定义域为.

13．设f(x)＝(a，b∈N＋)，且f(b)＝b及f(－b)<－成立，求f(x)．

解：∵f(x)＝，f(b)＝b，

∴＝b，即2＝b(a－1)．

∵a，b∈N＋，

∴或

当a＝3，b＝1时，f(x)＝，

此时－b＝－1.

∴f(－1)＝>－1＝－，舍去．

当a＝2，b＝2时，f(x)＝，

此时－b＝－2.

∴f(－2)＝－<－＝－.

∴f(x)＝(x≠1)．