北师大版 (2019)必修 第一册5 信息技术支持的函数研究当堂检测题

课时作业(二十六)　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

*信息技术支持的函数研究　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)

A．f1(x)＝x2        B．f2(x)＝4x

C．f3(x)＝log2x      D．f4(x)＝2x

答案：D　

解析：在同一坐标系中画出函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的图象可知(图略)，当x>4时从上往下依次是f4(x)，f1(x)，f2(x)，f3(x)，故应选D．

2．以下四个说法中，正确的是(　　)

A．幂函数增长比直线型函数增长得快

B．对任意x>0，xn>logax

C．对任意x>0，ax>logax

D．不一定存在x0，使x>x0时，总有ax>xn>logax

答案：D　

解析：A中，幂函数与一次函数的增长速度受幂函数及一次项系数的影响，这两者不确定，增长速度不能比较；对于B，C，当0<a<1时，显然不成立．

3．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，给出以下说法：

①前5分钟温度增加的速度越来越快；

②前5分钟温度增加的速度越来越慢；

③5分钟以后温度保持匀速增加；

④5分钟以后温度基本保持不变．

其中正确的说法是(　　)

A．①④        B．②④

C．②③        D．①③

答案：B　

解析：由题图可知，前5分钟金属材料的温度增加的速度越来越慢，5分钟以后的温度基本保持不变．

4．下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　)

A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢

B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快

C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢

D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快

答案：C　

解析：函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的图象，如图所示．

观察图象可知，函数f(x)的图象在区间(0,1)上，递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．故应选C．

5．一个居民小区收取冬季供暖费，根据约定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米25元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米20元．李华家的住房的使用面积是90平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过________平方米．

答案：112.5　

解析：设李华家住房的建筑面积为x 平方米，

则20x≤90×25，即x≤112.5.

6．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0, lg 3≈0.477 1)

解：设过滤n次，依题意，得n≤，

即n≤，则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．

7．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)

解：设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：

①连续生长十年，

木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；

②生长五年后重栽，

木材量M＝2Q(1＋18%)5.

则＝，

因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以>1，即M>N.

因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．

8．已知甲、乙两个工厂在今年1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元，若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2－4x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2(a1，a2，b2∈R)．

(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；

(2)求甲、乙两个工厂在今年5月份的利润；

(3)在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．

解：(1)依题意，由f(1)＝6，解得a1＝4，

∴f(x)＝4x2－4x＋6.

由有

解得a2＝，b2＝5，

∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5.

(2)由(1)知，甲工厂在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙工厂在今年5月份的利润为g(5)＝86万元．

(3)作函数图象如图所示．

从图中可以看出：当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；

当1<x<5时，有f(x)>g(x)；

当5<x≤10时，有f(x)<g(x).