江苏省南京市江宁高新区中学2022-2023学年九年级上学期数学周测考试(解析版)

2022-2023学年南京市江宁高新区初三数学

一、选择题（共6小题，满分18分）

1．已知是线段的黄金分割点，且，，则长约为　　

A．0.618 B．6.18 C．3.82 D．0.382

2．如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是　　

A． B． C． D．

3．若，且，则等于　　

A． B． C． D．

4．平行四边形的对角线、相交于点，交于点，若，的周长等于5，则平行四边形的周长等于　　

A．10 B．12 C．14 D．16

5．如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是　　

A．6 B．3 C．1.5 D．1

6．已知矩形的顶点在坐标原点，点的坐标是，点的纵坐标是4，则，两点的坐标分别是　　

A． B． 

C． D．

二、填空题（共8小题，满分24分）

7．已知，则；的值为___________.

8．如果四边形的四条边长分别为、、、，另一个和它相似的四边形的最长边长为，那么这个四边形的最短边的长度为 　　．

9． 已知，，与的面积之比为，当，对应边的长是______.

10． 在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为6米，则旗杆的高度为 　　米．

11．已知，，将以点为位似中心，相似比为，放大得到△，则顶点的对应点的坐标为　　．

12．如图，在中，，，为中点，在线段上，，则　　．

13. 如图，已知半圆与四边形的边、、都相切，切点分别为、、，半径，则　　．

14. 在矩形中，是边上的点，经过，，三点的与相切于点．若，，则的半径是 　　．

三、解答题（满分58分）

15.（10分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．

（1）在图①中以线段为边画一个三角形，使它与相似；

（2）在图②中画一个三角形，使它与相似（不全等）；

（3）在图③中的线段上画一个点，使．

16. （12分）是的切线，点在直径的延长线上．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

17． （12分） 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯的高度为4.8米，右侧路灯的高度为6.4米，两路灯之间的距离为12米，已知小明的身高为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．

（1）若小明站在人行横道的中央（点是的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长　　米，　　米；

（2）小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等，请问时小明站在什么位置，为什么？

18. （12分）如图，在中，，，是边上一点（与、不重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接、．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

19. （12分）在与△中，点与分别在边，上，，．

（1）当时，求证△；

（2）当时，与△相似吗？小明发现：与△不一定相似．小明先画出了△的示意图，如图2所示，请你利用直尺和圆规在小明所画的图②中，作出与△不相似的反例．

（3）小明进一步探索：当，时，设，如果存在△，那么的取值范围为 　　．

2022-2023学年南京市江宁高新区初三数学

一、选择题（共6小题，满分18分）

1．已知是线段的黄金分割点，且，，则长约为　　

A．0.618 B．6.18 C．3.82 D．0.382

【解答】解：由于为线段的黄金分割点，

且是较长线段；

则．

故选：．

2．如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：在和中，，

当时，满足两组角对应相等，可判断，故正确；

当时，满足两组角对应相等，可判断，故正确；

当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故正确；

当时，其夹角不相等，则不能判断，故不正确；

故选：．

3．若，且，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：，且，

．

故选：．

4．平行四边形的对角线、相交于点，交于点，若，的周长等于5，则平行四边形的周长等于　　

A．10 B．12 C．14 D．16

【解答】解：四边形是平行四边形，

，，，

，

，

是的中位线，

，，

的周长等于5，

，

，

，

的周长；

故选：．

5．如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是　　

A．6 B．3 C．1.5 D．1

【解答】解：由已知可得，

是线段的垂直平分线，

设与的交点为，

，垂直平分，

，，

，

，

，

，

，

点为的中点，

，，

，

故选：．

6．已知矩形的顶点在坐标原点，点的坐标是，点的纵坐标是4，则，两点的坐标分别是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴，过点作轴，交点为，延长交轴于点，

四边形是矩形，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，

即，

，即点，，

，

点的横坐标为：，

点，．

故选：．

二、填空题（共8小题，满分24分）

7．已知，则；的值为___________.

【解答】

8．如果四边形的四条边长分别为、、、，另一个和它相似的四边形的最长边长为，那么这个四边形的最短边的长度为 　　．

【解答】解：设这个四边形的最短边的长度为，

由题意得：

，

解得：，

这个四边形的最短边的长度为，

故答案为：．

9．已知，，与的面积之比为，当，对应边的长是______.

【解答】解：，与的面积之比为，

，

解得，

，

．

10．在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为6米，则旗杆的高度为 　　米．

【解答】解：设该旗杆的高度为米，根据题意得，，

解得．

即该旗杆的高度是24米．

故答案为：24．

11．如已知，，将以点为位似中心，相似比为，放大得到△，则顶点的对应点的坐标为　或　．

【解答】解：以原点为位似中心，相似比为，将放大为△，，

则顶点的对应点的坐标为或，

故答案为或．

12．如图，在中，，，为中点，在线段上，，则　或　．

【解答】解：为中点，

．

当时，，则当与不平行时，，．

故答案是：或．

13. 如图，已知半圆与四边形的边、、都相切，切点分别为、、，半径，则　　．

【解答】解：如图连接．

半圆与四边形的边、、都相切，切点分别为、、，

，，，，，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

故答案为1．

14. 在矩形中，是边上的点，经过，，三点的与相切于点．若，，则的半径是 　　．

【解答】解：设与交于点，

连接、、，

则，，

与相切于点，

，

，

，

设的半径为，则，

在中，，即，

解得：，

故答案为：．

三、解答题（满分58分）

15.（10分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．

（1）在图①中以线段为边画一个三角形，使它与相似；

（2）在图②中画一个三角形，使它与相似（不全等）；

（3）在图③中的线段上画一个点，使．

【解答】解：（1）如图①，即为所求．

（2）如图②，即为所求．

（3）如图③，点即为所求．

16. （12分）是的切线，点在直径的延长线上．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【解答】（1）证明：连接，如图所示．

，

．

是的切线，是的半径，

．

是的直径，

，

，

．

（2）解：，，

，

．

，

，

，

又，

．

17． （12分） 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯的高度为4.8米，右侧路灯的高度为6.4米，两路灯之间的距离为12米，已知小明的身高为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．

（1）若小明站在人行横道的中央（点是的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长　　米，　　米；

（2）小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等，请问时小明站在什么位置，为什么？

【解答】解：（1），，

，

，

，

，，，点是的中点，

，

解得；

，，

，

，

，

，，，点是的中点，

，

解得．

故答案为：3，2；

（2）小明站在离点米处的位置．理由如下：

由（1）得，，，

设，

，，，，

，，

，，

，，

，

解得，

，

所以，小明站在离点米处的位置．

18. （12分）如图，在中，，，是边上一点（与、不重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接、．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【解答】（1）证明：由题意可知：，，

，

，

，

，

在与中，

；

（2）解：，，

，

，

，

，

，，

，

，

．

19. （12分）在与△中，点与分别在边，上，，．

（1）当时，求证△；

（2）当时，与△相似吗？小明发现：与△不一定相似．小明先画出了△的示意图，如图2所示，请你利用直尺和圆规在小明所画的图②中，作出与△不相似的反例．

（3）小明进一步探索：当，时，设，如果存在△，那么的取值范围为 　　．

【解答】（1）证明：，，

△，

，

．

，

，

，，

△；

（2）如图，作△的外接圆交于点，连接，

则，

，

，

但与△不相似，

故图②中的△为所求作的反例；

（3）如图③，

当时，最大，

作于，于，

，

，

不妨设，

，

，

，

在中，，

，

在中，，

，

，

故答案是：．