2022-2023学年天津市新华中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市新华中学高二上学期期末数学试题（解析版）

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，用时90分钟．

将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷

注意事项：

1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如雷改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共9题，每题4分，共36分．在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．

一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）

1. 数列，，，，…的第10项是(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据数列的前几项，归纳处数列的通项公式，即可求解数列的第10项，得到答案．

【详解】由题意，根据数列，可求得数列的通项公式，

所以数列的第10项为，故选C．

【点睛】本题主要考查了归纳数列的通项公式，其中根据数列的前几项，找出数列的数字排布规律，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

2. 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据自变量对应的函数值，得出函数值的改变量.

【详解】自变量由改变到

当时，

当时，

故选：D

【点睛】本题主要考查了平均变化率，属于基础题.

3. 准线方程为的抛物线的标准方程为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：由题意得，抛物线，可得，

且开口向左，其准线方程为.

故选B．

考点：抛物线的几何性质．

4. 数列满足，则（）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据数列的递推关系式，推断出数列是周期为的数列，从而可得的值.

【详解】数列满足，所以，，，

，，……

所以数列是周期为的数列，则.

故选：C.

5. 在等比数列中，､是方程的两根，则的值为（）

A B. 3 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用韦达定理可得，，从而得到，，即可得到，再根据等比数列下标和性质计算可得；

【详解】解：因为､是方程的两根，所以，，所以，，又为等比数列，则，所以，所以或（舍去），所以

故选：B

6. 已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由抛物线方程结合双曲线的几何性质即可求解.

【详解】将代入抛物线方程，可得，

则抛物线方程为，准线方程为，

又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为，

则，又，

可得，所以双曲线方程为.

故选：D.

7. 已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.

【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.

故选：A

8. 已知函数，则

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据分式的求导法则求解即可.

【详解】因为,故.

故选：C

【点睛】本题主要考查了导数的分式运算,属于基础题.

9. 已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，若以线段为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P，O为坐标原点，，则双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】过点作轴于，根据三角形中的长度关系得到，得到离心率.

【详解】过点作轴于，根据题意知：

双曲线的离心率

故答案选B

【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.

第II卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本物共9题，共64分．

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.

【答案】16.

【解析】

【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.

【详解】由题意可得：，

解得：，则.

【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.

11. 已知双曲线C：一个焦点是，则它的离心率为______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意求出即可得出离心率.

【详解】由题可得，所以，

所以离心率.

故答案为：.

12. 设等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则________．

【答案】1或

【解析】

【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组即可解出答案.

【详解】∵∴或.

故答案为：1或.

13. 已知函数导函数为，且满足关系式，则的值等于_______．

【答案】

【解析】

【分析】对两边求导可得：，对赋值为可得：，问题得解.

【详解】因为，所以

令，则有：，解得：

所以

故答案为

【点睛】本题主要考查了函数求导公式及赋值方法，考查方程思想及计算能力，属于中档题.

14. 已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是______.

【答案】（或）

【解析】

【分析】

由题意可知，直线的斜率为，对函数求导，由求得切点的坐标，再利用点斜式可求得直线的方程.

【详解】直线的斜率为，由于直线与直线平行，则直线的斜率为，

对函数求导得，令，解得或（舍去），

所以切点的坐标为.

故直线的方程为，即

故答案为：（或）.

15. 已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是_____________．

【答案】2

【解析】

【分析】利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质求得，用裂项相消法求得不等式左边的和，然后不等式化简为，求得的最大值后解相应不等式可得结论．

【详解】是等差数列，则，，

∴，

，

所以

所以由不等式对任意恒成立，得

，，

易知是递减数列，因此它的最大项是第一项为，

，．

所以的最小值是2．

故答案为：2.

三、解答题（本大题共3小题，共34.0分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤，拍照上传）

16. 数列的前项和，已知，.

（1）证明：是等比数列；

（2）证明：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据，把递推关系化成数列前后两项间的关系，从而判断是否是等比数列.

（2）根据递推关系及（1）中结论求得与间的关系.

【详解】（1），

所以，即有，

故

所以是等比数列，首项为1，公比为2.

（2）由（1）可知，所以，

又因，所以，

因此

又因为，

因此

【点睛】方法点睛：通过，构造出新数列的前后两项关系，从而证明相关关系.

17. 双曲线离心率为，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过M(－1,0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．

【答案】(1) x2＝4y   (2) x－y＋1＝0

【解析】

【分析】

(1)根据离心率得到a＝1，再计算双曲线的焦点为(0,1)，得到抛物线方程.

(2)设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，求导得到y′＝x，根据韦达定理得到，计算得到答案.

【详解】(1)双曲线的离心率e＝＝，又a>0，所以a＝1，双曲线的顶点为(0,1)，

所以抛物线的焦点为(0,1)，又p>0，所以＝1，所以抛物线方程为x2＝4y.

(2)由题知直线l的斜率必存在．设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)．

因为y＝x2，所以y′＝x，所以切线l1，l2的斜率分别为，

当l1⊥l2时，·＝－1，所以.

由得x2－4kx－4k＝0，并Δ＝(－4k)2－4(－4k)>0，所以k<－1或k>0.①

由根与系数的关系得，所以k＝1，满足①

即直线l的方程为x－y＋1＝0.

【点睛】本题考查了抛物线方程，直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力.

18. 已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题干已知条件可列出关于首项与公比的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式，再根据公式进行计算可得数列的通项公式；

（2）先分为奇数和为偶数分别计算出数列的通项公式，在求前项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前项和.

【详解】（1）依题意，由，，可得，因为，所以解得，，

，，

对于数列：当时，，

当时，，

当时，也满足上式，

，.

（2）由题意及（1），可知：

当为奇数时，，

当为偶数时，，

令，，则

，

，

，

两式相减，可得，

，

，

，

，

.

【点睛】关键点点睛：第二问中当为奇数时，求出，并对进行裂项为是解题关键，本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.