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班海数学人教版九下-27.2 相似三角形【优质教案】
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这是一份班海数学人教版九下-27.2 相似三角形【优质教案】，共26页。
27.2 相似三角形
27.2.3 用平行线判定三角形相似
〔教学目标〕
1． 了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：
1． 复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
↓
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
2． 回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）
↓
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
从相似多边形的概念及全等三角形的概念两个以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
如图27·2-1，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，
DE交AC于点E ，∆ADE与∆ABC有什么关系？
分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作EF∥AB。
↓
∆ADE∽∆ABC，相似比为。
延伸问题：
改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。
↓
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
通过观察特殊平行条件（经过三角形一边的中点平行于另一边）下两三角形的相似关系，引导学生思考一般平行条件（平行于三角形一边的直线和其他两边相交）下两三角形的相似关系，进一步体会事物间特殊到一般的关系。
通过几何画板演示，培养学生的实验探究意识。
探究方法：
探究1
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）
在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。
分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E
∆A1DE∽∆A1B1C1。用几何画板演示∆ABC平移至∆A1DE的过程
A1D=AB，A1E=AC，DE=BC∆A1DE≌∆ABC
∆ABC∽∆A1B1C1
↓
归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
↓
若
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
学生通过作图，动手度量三角形的各边长及三角形的角，在动手实践中
探究几何结论成立与否，加深了学生对定理的重发现体验。
通过几何画板演示让学生从中体会到把不熟悉的几何问题（如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形是否相似？）转化为熟悉的几何问题（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）的过程。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
突出几何定理的图形语言﹑符号语言可以帮助学生完成几何定理的建模。
运用提高：
1． P47练习题1（2）。
2． P47练习题2（2）。
运用两个三角形相似的判定方法（1）进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：
1． 必做题：
P55习题27·2题2（1），3（1）。
2． 选做题：
P55习题27·2题4，5。
3． 备选题：
如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：C
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
27.2.4 用三边比例关系判定三角形相似
一、教学目标
知识与技能
掌握两个三角形相似的判定条件（三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．
过程与方法
会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
情感态度与价值观
经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．
二、重、难点
重点：掌握相似三角形的SSS判定方法，能运用SSS进行证明
难点：熟练应用相似三角形的SSS判定定理进行证明
三、课堂引入
1．复习引入
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果． 我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有．
（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．教材中的思考，并引导同学们探索与证明．
3．【归纳】
三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
三、例题讲解
例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
例2（补充）在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
四、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
27.2.5 用边角关系判定三角形相似
〔教学目标〕
4． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
5． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
6． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法2及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法2的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：
3． 复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系：
SSS
↓
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
4． 回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程
↓
探究两个三角形相似判定方法2的途径
从回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程及复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系两个角度来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
（学生独立操作并判断）
↓
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
延伸问题：
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法：
探究2
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）
↓
归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
若∠A=∠A1，==k
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
辨析：对于∆ABC与∆A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。
改变∠A或k值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。
通过几何画板演示验证，培养学生学习在图形的动态变化中探究不变因素的能力。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
通过辨析，使学生对两个三角形相似判定方法2的判定条件- -“并且相应的夹角相等”具有较深刻的认识，培养学生严谨的思维习惯。
应用新知：
例1：根据下列条件，判断 ∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，
∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。
（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，
∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。
分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200
∆ABC∽∆A1B1C1
（2）==,∠B=∠B1＝1200但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，所以∆ABC与∆A1B1C1不相似。
让学生了解运用相似三角形的判定方法2进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法SAS进行相关证明与计算的雷同性。
让学生注意到：两个三角形相似判定方法2的判定条件“角相等”必须是
“夹角相等”。
运用提高：
3． P47练习题1（1）。
4． P47练习题2（1）。
运用相似三角形的判定方法2进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：
4． 必做题：
P55习题27·2题2（2），3（2）。
5． 选做题：
P56习题27·2题8。
6． 备选题：
已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：x=2cm
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。
27.2.8 相似三角形的性质
一、教学目标
知识与技能
1. 掌握相似三角形的相似比与对应高、中线、角平分线、周长，面积的比存在的等量关系，掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系
2. 能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算．
过程与方法
对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度
情感态度与价值观
在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用
二、重、难点
重点：相似三角形性质定理的探索、理解及应用
难点：相似三角形性质定理的探索、理解及应用
三、教学过程
（一）、课前导学：学生自学课本第37页内容，并完成下列问题
１.相似三角形的对应角______ ，对应边 .
2.相似三角形的判定方法有那些？
相似三角形判定定理１: 三边对应 的两个三角形相似.
相似三角形判定定理２:两边 且夹角 的两个三角形相似.
相似三角形判定定理3: 对应 的两个三角形相似.
直角三角形相似的判定定理:两边和它们的夹角对应 的两个三角形相似.
1．（1）如果△ABC∽△A'B'C'的相似比为2，那么△ABC与的周长比是多少？ 面积比呢？
(2）如果△ABC∽△A'B'C'的相似比为k，那么△ABC与的周长比是多少？ 面积比呢？
【结论】相似三角形的周长比等于 ．
相似三角形的面积比等于 ．
(二)、合作、交流、展示
例1、已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高, 求证：
【结论】：相似三角形对应高的比等于 。
【思考】：如果两个三角形是直角三角形，钝角三角形时结果还成立吗？试试看！
D
E
F
C
A
B
P
2、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m,CD=5m，
（1）若点P到CD的距离为3m。求P到AB的距离？
（2）若PE⊥CD于D交AB于F，EF=1m，求PF.
B
A
E
C
D
3.如图，DE∥BC，AB=30m，BD=18m，△ABC的周长为80m，面积为100m2，求△ADE的周长和面积。
（三）、巩固与应用：
1、若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高的比是 ，
对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ．
2、若△ABC∽△A′B′C′, BC=3.6cm，B′C′=6cm，AE是△ABC的一条中线，AE=2.4cm，则△A′B′C′中对应中线A′E′的长是 .
3、已知：梯形ABCD中，AB∥DC,AC与BD交于点O，若=5cm2, =20cm2, 则= ，= ．
4、已知两个相似三角形的一对对应边分别长为32cm和12cm．
（1）若它们的周长差为40cm，求这两个三角形的周长.
（2）若它们的面积差为500cm2，求这两个三角形的面积.
5、某人拿着一把分度值为厘米的小尺，站在距电线杆30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12cm的长度恰好遮住电线杆，已知臂长为60cm．求电线杆的高.
6、已知在△ABC中，BC=120mm， BC边上的高为80mm，在这个三角形内有一个内接正方形， 正方形的一边在BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上．求这个正方形的边长
7、锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥ BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）
（1）△ABC中边BC上高AD=________；
（2）当x=________时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？
（四）、小结： 相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比，那么相似多边形的周长比等于 ，面积比等于
（五）、作业： 必做：课本练习T1,2,3 ，4,5,6
（六）、课后反思：
27.2.9 相似三角形的应用举例
一、教学目标
知识与技能
1.进一步巩固相似三角形的知识．
2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
过程与方法
经历分析实际问题中已知条件，建立数学模型，进而利用相似三角形知识解决问题
情感态度与价值观
体会数学和现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高用代数方法解决问题的能力
二、重、难点
重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度
难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）
三、教学过程
（一）、课前导学：预习课本中本节内容，完成下列问题:
1、判断两三角形相似的方法有： ；
2、相似三角形的性质：（1）对应角 、对应边 ；（2）对应线段的比等于 ；（3）面积之比等于 ；
3、仰角： ；俯角： ；
（二）、合作、交流、展示：
【例题1】胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
据史料记载，古希腊数学家、天文学家
泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字
塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构
成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．
练一练：在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例）
【例题2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对
岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S
共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的
直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
练一练：如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB。
【例题3】如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为多少米．
练一练：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m，两树根部的距离BD = 5 m．一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
（三）、巩固与应用：
1、小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?
2、 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)
3、小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
4、如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。
（四）、小结：计算不能直接测量物体的长度和高度，可建立相似三角形的数学模型。
（五）、作业：必做：课本中练习T9，10,14
（六）、反思：
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27.2 相似三角形
27.2.3 用平行线判定三角形相似
〔教学目标〕
1． 了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：
1． 复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
↓
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
2． 回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）
↓
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
从相似多边形的概念及全等三角形的概念两个以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
如图27·2-1，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，
DE交AC于点E ，∆ADE与∆ABC有什么关系？
分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作EF∥AB。
↓
∆ADE∽∆ABC，相似比为。
延伸问题：
改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。
↓
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
通过观察特殊平行条件（经过三角形一边的中点平行于另一边）下两三角形的相似关系，引导学生思考一般平行条件（平行于三角形一边的直线和其他两边相交）下两三角形的相似关系，进一步体会事物间特殊到一般的关系。
通过几何画板演示，培养学生的实验探究意识。
探究方法：
探究1
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）
在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。
分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E
∆A1DE∽∆A1B1C1。用几何画板演示∆ABC平移至∆A1DE的过程
A1D=AB，A1E=AC，DE=BC∆A1DE≌∆ABC
∆ABC∽∆A1B1C1
↓
归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
↓
若
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
学生通过作图，动手度量三角形的各边长及三角形的角，在动手实践中
探究几何结论成立与否，加深了学生对定理的重发现体验。
通过几何画板演示让学生从中体会到把不熟悉的几何问题（如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形是否相似？）转化为熟悉的几何问题（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）的过程。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
突出几何定理的图形语言﹑符号语言可以帮助学生完成几何定理的建模。
运用提高：
1． P47练习题1（2）。
2． P47练习题2（2）。
运用两个三角形相似的判定方法（1）进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：
1． 必做题：
P55习题27·2题2（1），3（1）。
2． 选做题：
P55习题27·2题4，5。
3． 备选题：
如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：C
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
27.2.4 用三边比例关系判定三角形相似
一、教学目标
知识与技能
掌握两个三角形相似的判定条件（三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．
过程与方法
会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
情感态度与价值观
经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．
二、重、难点
重点：掌握相似三角形的SSS判定方法，能运用SSS进行证明
难点：熟练应用相似三角形的SSS判定定理进行证明
三、课堂引入
1．复习引入
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果． 我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有．
（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．教材中的思考，并引导同学们探索与证明．
3．【归纳】
三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
三、例题讲解
例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
例2（补充）在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
四、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
27.2.5 用边角关系判定三角形相似
〔教学目标〕
4． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
5． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
6． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法2及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法2的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：
3． 复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系：
SSS
↓
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
4． 回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程
↓
探究两个三角形相似判定方法2的途径
从回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程及复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系两个角度来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
（学生独立操作并判断）
↓
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
延伸问题：
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法：
探究2
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）
↓
归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
若∠A=∠A1，==k
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
辨析：对于∆ABC与∆A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。
改变∠A或k值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。
通过几何画板演示验证，培养学生学习在图形的动态变化中探究不变因素的能力。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
通过辨析，使学生对两个三角形相似判定方法2的判定条件- -“并且相应的夹角相等”具有较深刻的认识，培养学生严谨的思维习惯。
应用新知：
例1：根据下列条件，判断 ∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，
∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。
（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，
∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。
分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200
∆ABC∽∆A1B1C1
（2）==,∠B=∠B1＝1200但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，所以∆ABC与∆A1B1C1不相似。
让学生了解运用相似三角形的判定方法2进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法SAS进行相关证明与计算的雷同性。
让学生注意到：两个三角形相似判定方法2的判定条件“角相等”必须是
“夹角相等”。
运用提高：
3． P47练习题1（1）。
4． P47练习题2（1）。
运用相似三角形的判定方法2进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：
4． 必做题：
P55习题27·2题2（2），3（2）。
5． 选做题：
P56习题27·2题8。
6． 备选题：
已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：x=2cm
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。
27.2.8 相似三角形的性质
一、教学目标
知识与技能
1. 掌握相似三角形的相似比与对应高、中线、角平分线、周长，面积的比存在的等量关系，掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系
2. 能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算．
过程与方法
对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度
情感态度与价值观
在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用
二、重、难点
重点：相似三角形性质定理的探索、理解及应用
难点：相似三角形性质定理的探索、理解及应用
三、教学过程
（一）、课前导学：学生自学课本第37页内容，并完成下列问题
１.相似三角形的对应角______ ，对应边 .
2.相似三角形的判定方法有那些？
相似三角形判定定理１: 三边对应 的两个三角形相似.
相似三角形判定定理２:两边 且夹角 的两个三角形相似.
相似三角形判定定理3: 对应 的两个三角形相似.
直角三角形相似的判定定理:两边和它们的夹角对应 的两个三角形相似.
1．（1）如果△ABC∽△A'B'C'的相似比为2，那么△ABC与的周长比是多少？ 面积比呢？
(2）如果△ABC∽△A'B'C'的相似比为k，那么△ABC与的周长比是多少？ 面积比呢？
【结论】相似三角形的周长比等于 ．
相似三角形的面积比等于 ．
(二)、合作、交流、展示
例1、已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高, 求证：
【结论】：相似三角形对应高的比等于 。
【思考】：如果两个三角形是直角三角形，钝角三角形时结果还成立吗？试试看！
D
E
F
C
A
B
P
2、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m,CD=5m，
（1）若点P到CD的距离为3m。求P到AB的距离？
（2）若PE⊥CD于D交AB于F，EF=1m，求PF.
B
A
E
C
D
3.如图，DE∥BC，AB=30m，BD=18m，△ABC的周长为80m，面积为100m2，求△ADE的周长和面积。
（三）、巩固与应用：
1、若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高的比是 ，
对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ．
2、若△ABC∽△A′B′C′, BC=3.6cm，B′C′=6cm，AE是△ABC的一条中线，AE=2.4cm，则△A′B′C′中对应中线A′E′的长是 .
3、已知：梯形ABCD中，AB∥DC,AC与BD交于点O，若=5cm2, =20cm2, 则= ，= ．
4、已知两个相似三角形的一对对应边分别长为32cm和12cm．
（1）若它们的周长差为40cm，求这两个三角形的周长.
（2）若它们的面积差为500cm2，求这两个三角形的面积.
5、某人拿着一把分度值为厘米的小尺，站在距电线杆30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12cm的长度恰好遮住电线杆，已知臂长为60cm．求电线杆的高.
6、已知在△ABC中，BC=120mm， BC边上的高为80mm，在这个三角形内有一个内接正方形， 正方形的一边在BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上．求这个正方形的边长
7、锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥ BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）
（1）△ABC中边BC上高AD=________；
（2）当x=________时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？
（四）、小结： 相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比，那么相似多边形的周长比等于 ，面积比等于
（五）、作业： 必做：课本练习T1,2,3 ，4,5,6
（六）、课后反思：
27.2.9 相似三角形的应用举例
一、教学目标
知识与技能
1.进一步巩固相似三角形的知识．
2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
过程与方法
经历分析实际问题中已知条件，建立数学模型，进而利用相似三角形知识解决问题
情感态度与价值观
体会数学和现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高用代数方法解决问题的能力
二、重、难点
重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度
难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）
三、教学过程
（一）、课前导学：预习课本中本节内容，完成下列问题:
1、判断两三角形相似的方法有： ；
2、相似三角形的性质：（1）对应角 、对应边 ；（2）对应线段的比等于 ；（3）面积之比等于 ；
3、仰角： ；俯角： ；
（二）、合作、交流、展示：
【例题1】胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
据史料记载，古希腊数学家、天文学家
泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字
塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构
成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．
练一练：在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例）
【例题2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对
岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S
共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的
直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
练一练：如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB。
【例题3】如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为多少米．
练一练：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m，两树根部的距离BD = 5 m．一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
（三）、巩固与应用：
1、小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?
2、 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)
3、小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
4、如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。
（四）、小结：计算不能直接测量物体的长度和高度，可建立相似三角形的数学模型。
（五）、作业：必做：课本中练习T9，10,14
（六）、反思：
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