初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用教学设计及反思

28.2 解直角三角形及其应用

28.2.1  解直角三角形

一、教育目标

(一)知识与技能

使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

(二)过程与方法

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

(三)情感态度与价值观

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

二、重、难点

重点：直角三角形的解法．

难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

 三、教学过程

(一)明确目标

 1．在三角形中共有几个元素？

 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边角之间关系

；

如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

(2)三边之间关系

a2  +b2  =c2 (勾股定理)

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

 (二)整体感知

教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．

 (三)重点、难点的学习与目标完成过程

1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．

3．例题 

例1 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．

分析：解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

解：(1)∠A=90°-∠B＝90°-42°6′=47°54′，

(2)

∴a=c． cosB=28.74×0.7420≈213.3．

(3) ,

∴b=c·sinB=287.4×0.6704≈192.7．

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”

答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．

例2 在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．

(1)

查表得A=78°51′；

(2)∠B=90°-78°51′=11°9′

(3) .

注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘(或除)以另一含四位有效数字的数要方便一些．但先后要查两次表，并作一次加法(或减法)．

4．巩固练习

解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．

说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．

 (四)总结与扩展

1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．

2．出示图表，请学生完成

注：上表中“√”表示已知。

四、布置作业

28.2.3  解直角三角形在实际中的一般应用

【知识与技能】

本节主要探索的是运用解直角三角形的知识去解决某些简单的基本问题.

【过程与方法】

1.用解三角形的有关知识去解决简单的基本问题的过程.

2.选择合适的边角关系式，使运算简便.努力培养学生数形结合，把基本问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决问题的能力.

【情感态度】

通过解决问题，激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与，并体验成功的喜悦.

【教学重点】

引导学生根据题意找出正确的直角三角形，并找到恰当的求解关系式，把基本问题转化为解直角三角形的问题来解决.

【教学难点】

使学生学会将有关简单的问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.

一、知识回顾

1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形

2.直角三角形中诸元素之间的关系：

（1）三边之间的关系：a2+62=c2 (勾股定理）

（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；

（3）边角之间的关系：.

把∠A换成∠B同样适用.

二、思考探究，获取新知

我们已经掌握了运用直角三角形的边角关系 解直角三角形，那么请思考：对于简单的基本问题，我们能否用解直角三角形的方法去解决呢？

如图，河宽AB(假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB = 30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为多少米？（结果保留根号）

【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值.

【教学说明】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值.

三、典例精析，掌握新知

例1  如图，为了测量河两岸A、两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC =m， ∠ACB = α那么AB等于（                  ）

A. m sinα               B. n cosα

C. m tanα               D. m /tanα

【分析】本题易因记错∠α的正切或运算关系掌握不好而选错.

答案  C

例2  如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5米，风筝飞到C处时的线长BC为30米，这时测得

∠CBD=60°，求此时风筝离地面的高度.（结果精确到0.1米，)

【分析】 在Rt △BCD中，由BC =30米，∠CBD=60°，利用正弦可求得CD，又DE=AB，从而风筝离地面的高度CE=CD+DE.

【教学说明】解答本题的关键是利用解直角三角形来求CD的长，利用矩形的性质求DE的长.

四、运用新知、深化理解

1.课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成

30°角时，测得旗杆AB在地面上影长BC长为24米，则旗杆AB的

高约是多少 ？

2.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径A河底线，弦

CD水位线，CD//AB，且CD=24m.OE丄CD于点E.已测得水面距最高

处有8m 已测得.

（1）求半径OD;

（2）根据需要，睡眠要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？

【教学说明】可让学生自主探究，也可小组内讨论.教师巡视，发现问题给予指导.

【答案】1.解：∵太阳光线与地面成30°角，旗杆AB在地面上的影长BC为24米，∴旗杆AB的高度约是：.

2..分析：解决此题的关键是求出OE的值.由垂径定理易求出DE的长，Rt△OED中，根据DE的长以及∠EOD的正弦值，可求出半径OD的长， 再由勾股定理即可求出OE的值.OE的长除以水面下降的速度，即可求出将水排干所需要的时间.

五、师生互动、课堂小结

1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当

图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形.（作

某边上的高是常用的辅助线）

2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形

成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种问题

时合理运用.

1.布置作业：从教材P77〜79习题28.2中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想.

28.2.4  用解直角三角形解视角问题

一、教学目标

 (一)、知识与技能

使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．

  (二)、过程与方法

逐步培养分析问题、解决问题的能力．

 (三)、情感态度与价值观

培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．

二、重、难点

重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．

难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．

三、教学过程

 (一)明确目标

1．解直角三角形指什么？

2．解直角三角形主要依据什么？

 (1)勾股定理：a2+b2=c2

 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

 (3)边角之间的关系：

tanA=， cotA=

(二)整体感知

在讲完查“正弦和余弦表”以及“正切和余切表”后，教材随学随用，先解决了本章引例中的实际问题，然后又解决了一些简单问题，至于本节“解直角三角形”，完全是讲知识的应用与联系实际的．因此本章应努力贯彻理论联系实际的原则．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1  如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解；在Rt△ABC中sinB=

 AB==4221(米)

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=

来解决的两个实际问题即已知和斜边

求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．

3．巩固练习

如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图(6-18)说出已知条件和所求各是什么？ 

答：已知∠B=8°14′，AC=43.74-2.63=41.11，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式：当船继续行驶到D时，测得俯角β=18°13′，当时水位为-1.15m，求观察所A到船只B的水平距离(精确到1m)，请学生独立完成．

例2  如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．

解：过A作AE∥CD，于是AC=ED，

AE＝CD．

 在Rt△ABE中。sinA=

∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53(米)．

 cosA=

∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1(米)．

∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5＝32.03(米)．

CD=AE=157.1(米)．

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它．

 (四)总结与扩展

请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．

四、布置作业

1．课本习题  A组1,2

28.2.5  用解直角三角形解方位角、坡角的应用

一、 教学目标

(一)知识与技能

巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于方位角、坡度角和有关角度的问题．

(二)过程与方法

逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．

(三)情感态度与价值观

培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．

二、重、难点

重点：能熟练运用有关三角函数知识．

难点：解决实际问题．

三、教学过程

(一)明确目标

讲评上课节课后作业

(二)重点、难点的学习与目标完成过程

教师出示例题．

例1  如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．

分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．

2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图 (2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．

3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．

答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．

教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．

例2  如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？

这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．

由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。

学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．

解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．

∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．

∴DE=BD·cosD=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．

答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，

提到角度问题，初一教材曾提到过方位角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方位角的实际应用问题．

补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．

学生虽然在初一接触过方位角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：

(1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．

解：由图6-31可知，∠AOB=60°，∠OAB=90°．

∴AB=OAtan60°

从点A行到B点所需时间为 ≈17.32(海里).

答：船到达点B的时间为1小时44分．

此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．

补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方位角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．

若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．

(三)小结与扩展

教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．

四、布置作业

课本习题B组第10题

感谢您下载使用【班海】教学资源。班海——老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！