2022-2023学年广东省珠海四中、立才中学、梅华中学九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年广东省珠海四中、立才中学、梅华中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  为响应珠海市号召，我校全面推行生活垃圾分类管理，下列校园中常见的垃圾分类图标中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列函数中，一定是二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知一元二次方程的两根分别为、，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位，则变换后的新抛物线解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  对于二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线
C. 当时，随的增大而减小 D. 函数的最小值为

6.  如图，在中，，将绕点逆时针旋转至处，使点落在的延长线上的点处，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  抛物线过，，三点．则将，，，从小到大顺序排列是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则下列方程中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知，二次函数图象如图所示，则下列结论正确的是(    )
；；；；其中，为任意实数．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  一元二次方程化为一般形式是______．

12.  若是方程的一个实数根，则的值为______．

13.  如图，在长为，宽的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程为______．

14.  已知方程的解分别是等腰三角形的腰与底边的长，则该三角形的面积是______ ．

15.  已知抛物线以及平面直角坐标系中的点、，若该抛物线与线段只有一个交点，则的取值范围是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  解方程：．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
请将二次函数化为的形式，并求出它与坐标轴交点的坐标．

18.  本小题分
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？

19.  本小题分
如图，在直角坐标系内，已知点．
图中点的坐标是______；点关于原点对称的点的坐标是______；点关于轴对称的点的坐标是______；
在轴上找一点，使求点的坐标．

20.  本小题分
有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为，跨度为把它放在如图所示的平面直角坐标系中个单位表示．
求这条的表抛物线表达式；
若要在隧道壁上点处安装一盖照明灯离地面的高度为，求照明灯与点的距离．

21.  本小题分
某公司研发了一款成本为元的新型玩具，投放市场进行试销售．按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于元，调研发现在一段时间内，每天的销售量个与销售单价元满足一次函数关系如图：
求与之间的函数关系式；
销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

22.  本小题分
如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转旋转角小于度得到矩形．

如图，若在旋转过程中，点落在对角线上，，分别交于点，，
求证：；
求的长；
如图，在旋转过程中，若直线经过线段的中点，连接，，求的面积．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；
抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、此函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、当时，此函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 

3.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
．
故选：．
利用两根之和等于，可求出的值．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，
得到函数的表达式为：，
故选：．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可．
本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，
对称轴是直线，故选项B中的说法错误；
当时，随的增大而增大，故选项C中的说法错误；
函数图象的顶点坐标为，则函数的最小值为，故选项D中的说法正确；
故选：．
根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转至处，
，，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
图象的开口向下，对称轴是直线，
当时，随的增大而减小，
关于直线的对称点是，且，
，即．
故选：．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据函数的对称性和增减性，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意得，
即．
故选：．
设有个球队参赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据计划安排场比赛即可列出方程求解．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
由题意分情况进行分析：当时，抛物线开口向上，直线与轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，当时，抛物线开口向下，直线与轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择．
【解答】
解：在，，
一次函数图象与轴的负半轴相交，
当时，
二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
当时，
二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，即，错误；
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，正确；
，错误；
时，，抛物线对称轴为直线，
时，，正确；
时取最大值，
，
，正确．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，由时及抛物线的对称性可判断，由时及时可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程化为一般形式是．
故答案为：
根据一元二次方程的一般形式为．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意得，
所以，
故．
故答案为：．
把代入已知方程可以求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值．
本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是注意“整体代入”数学思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：道路的宽度为，
剩余田地部分可合成长为，宽为的矩形，
剩余田地的面积为，
可列方程为：．
故答案为：．
由道路的宽度为，可得出剩余田地部分可合成长为，宽为的矩形，根据剩余田地的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
由三角形的三边关系可得：腰长是，底边是，
底边上的高为，
该三角形的面积是，
故答案为：．
用因式分解法可以求出方程的两个根分别是和，根据等腰三角形的三边关系即可得出腰应该是，底是，然后根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得高，即可得到该三角形的面积．
本题主要考查解一元二次方程的能力，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：，
当时，，
抛物线开口向上，经过定点，
设所在直线为，
将、代入得，
解得，
，
将代入得，
在直线上，
如图，当时，抛物线在点下方满足题意，

把代入得，
，
解得，
如图，当时，抛物线在点下方满足题意，

把代入得，
，
解得，
令，整理得，
当时，满足题意，
解得，
或或时，满足题意，
故答案为：或或．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及经过定点，求出所在直线解析式，结合图象求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

16.【答案】解：这里，，，
，
，
则，． 

【解析】此题考查了解一元二次方程公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出，及的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于时，代入求根公式即可求出解．
找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解．
 

17.【答案】解：


，
当时，，
当时，，
，
或，
该抛物线和坐标轴的交点坐标是：，，． 

【解析】利用完全平方公式即可化为顶点式，再分别设和即可求出交点坐标．
本题考查二次函数与图象的性质，把一般式化成顶点式，牢记抛物线与坐标轴的交点公式是解题的关键．
 

18.【答案】解：设每个支干长出小分支，则，
解得：，，
答：每个支干长出小分支． 

【解析】等量关系为：主干支干数目支干数目支干数目，把相关数值代入计算即可．
考查一元二次方程的应用，得到总数的等量关系是解决本题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：过点作轴的垂线，垂足所对应的数为，因此点的横坐标为，
过点作轴的垂线，垂足所对应的数为，因此点的纵坐标为，
所以点；
由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点关于原点对称点，
由于关于轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点关于轴对称点，
故答案为：，，；
设点的坐标为，

因为，，
所以，
，
解得或，
的坐标为或．
根据坐标的意义即可得出点的坐标；根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系可得出点关于原点对称的点的坐标，同理根据关于轴对称的两个点坐标之间的关系得出点关于对称点的坐标；
根据等底等高的三角形的面积相等求解即可．
本题考查点的坐标，关于轴、轴、原点对称的点坐标的关系，以及利用坐标求相应图形的面积，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：由图象可知抛物线的顶点是，设抛物线所对应的函数关系为，
点或在抛物线上，
，
解得，
抛物线的函数关系式为；
要在隧道壁上点处安装一盖照明灯离地面的高度为，
的纵坐标是，
在中，令得：
，
解得或，
，
，
照明灯与点的距离是． 

【解析】根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：，把点代入即可求得答案；
灯离地面高，即时，可求的值，从而得到点坐标，再利用两点间距离公式即可求的值．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法，求出二次函数解析式．
 

21.【答案】解：设，
将点，代入得：，
解得：，
与的函数关系式为：；
设每天获得的利润为元，由题意得，
按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于元，
，
，抛物线开口向下，
当时，随着的增大而增大，
有最大值，当时，，
销售单价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】由待定系数法可得函数的解析式；
设每天获得的利润为元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
由旋转的性质得：，
，
；
解：设，则，
在中，，
解得：，
在中，，
，
解：分情况讨论：
如图所示：过点作于，则，
在和中，，
≌，
，，
在中，，
，
，
的面积的面积；
在和中，
，
≌，
，，
在中，，
，
，
的面积的面积；
综上所述，的面积为或． 

【解析】由矩形的性质得出，得出，由旋转的性质得：，证出，即可得出；
设，则，在中，由勾股定理得出方程，解得：，在中，由勾股定理得出，得出；
分情况讨论：过点作于，证明≌，得出，，在中，由勾股定理得出，得出，得出，得出的面积的面积；
同得：，，得出，得出的面积的面积即可．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形面积、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】解：将点，代入到中得：
，解得：，
抛物线的解析式为；

设点，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
轴，轴，
，
当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，解得或或或，
点的横坐标为或或或；

当在下方时，如图，过作于，过作轴，交轴于，过作于，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
，，
，
，，
，解得，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得，
解得或，
；
当在上方时，如图，过作于，过作轴，交轴于，过作于，

同理得
综上，存在，点的坐标为或 

【解析】根据待定系数法，将点，点代入抛物线解析式，解关于，的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
设出点的坐标，确定出，由，列出方程求解即可；
过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，求出点的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，联立直线和抛物线解析式即可得出点的坐标．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键．