广西南宁市隆安县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年广西南宁市隆安县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）下列学生喜欢的手机应用软件图标中，是中心对称图形的是（　　）

2．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣1＝0 D．+x2＝1

3．（3分）下列运动形式属于旋转的是（　　）

A．飞驰的动车   B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪    D．乘坐升降电梯

4．（3分）如图，在△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是（　　）

A．30°     B．40°     C．50° D．60°

5．（3分）下列抛物线，开口最大的是（　　）

A．y＝x2 B．y＝x2 C．y＝2x2 D．y＝﹣3x2

6．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣4＝0有一个根为1，则k的值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3

7．（3分）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．无法判断

8．（3分）用配方法解一元二次方程y2+4y＝1的过程中，配方正确的是（　　）

A．（y﹣1）2＝4 B．（y+1）2＝4 C．（y+2）2＝5 D．（y﹣2）2＝5

9．（3分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（　　）

A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2

10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx和直线y＝ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（　　）

11．（3分）某超市一月份的营业额为20万元，一月、二月、三月的营业额共100万元．如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程应为（　　）

A．20（1+x）2＝100 B．20+20×2x＝100 

C．20+20×3x＝100 D．20[1+（1+x）+（1+x）2]＝100

12．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（　　）

A．（40，0） B．（36，0） C．（41，0） D．（39，0）

二、填空题（本大题满分18分，每小题3分）

13．（3分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是　   　．

14．（3分）一元二次方程3x2+4x＝2﹣x的一次项系数是 　   　．

15．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣3）2+6的顶点坐标 　   　．

16．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是　   　．

17．（3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，将△ADE绕着点A顺时针旋得到△AD′E′，直线BE′，CD′交于点P，直到当点D′落在AC上时，动点P到AC中点的距离是 　   　．

18．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　   　．

三、解答题（（本大题满分66分）

19．（8分）解方程：

（1）（x﹣1）2＝16；

（2）2x2﹣2x+1＝0．

20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0，若方程有实数根，求实数m的取值范围．

21．（6分）某种病毒具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患病毒（假设每轮传染的人数相同），求每轮传染中平均每个人传染的人数．

22．（6分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点A、点C关于点O成中心对称，点B、点D关于点O成中心对称，且点B、D关于AC成轴对称．求证：四边形ABCD是菱形．

23．（8分）阅读材料：

为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，原方程化为y2﹣3y＝0． ①

解得y1＝0，y2＝3．

当y＝0时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1．

当y＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2．

∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．

解答问题：

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 　   　法达到了降次的目的，体现了 　   　的数学思想；

（2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0．

24．（10分）某大众汽车经销商在销售某款汽车时，以高出进价20%标价．已知按标价的九折销售这款汽车9辆与将标价直降0.2万元销售4辆获利相同．

（1）求该款汽车的进价和标价分别是多少万元？

（2）若该款汽车的进价不变，按（1）中所求的标价出售，该店平均每月可售出这款汽车20辆；若每辆汽车每降价0.1万元，则每月可多售出2辆．求该款汽车降价多少万元出售每月获利最大？最大利润是多少？

25．（10分）【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接AM、AN、MN．

（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程．

（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN＝45°，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．

26．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；

（3）若抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6，求点Q的坐标．