安徽省十校联盟2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题(人教A版)

安徽省十校联盟2021级高二下学期开年考

数学（人教A版）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．椭圆的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

2．若直线：与直线：（）互相垂直，则（    ）

A． B． C．12 D．

3．直线l：与圆C：的位置关系为（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的值有关

4．定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有，则称数列是从第项起的周期为T的周期数列．已知周期数列满足：，，（），则（    ）

A． B． C． D．1

5．在正四面体ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．3

7．已知双曲线（）上的点A，B关于原点对称，点P在双曲线上（异于点A，B），直线PA，PB的斜率满足，则（    ）

A．2 B． C． D．3

8．已知圆C：，若点P为直线l：上的动点，由点P向圆C作切线，则切线长的最小值为（    ）

A．4 B．2 C． D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．已知直线，则（    ）

A．过点 B．斜率为

C．倾斜角为 D．在x轴上的截距为

10．对于曲线C：，则下列说法正确的有（    ）

A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线

C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线

11．记等比数列的前n项和为，前n项积为，且满足，，，则（    ）

A． B．

C．是数列中的最大项 D．

12．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为AB，BC，的中点，点P在线段上，平面EFG，则（    ）

A．与EF所成角为 B．点P为线段的中点

C．三棱锥的体积为 D．平面EFG截正方体所得截面的面积为

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形OABC为平行四边形，则______．

14．已知等差数列的公差为d，首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，则d的取值范围是______．

15．若a，且，圆：和圆：有且只有一条公切线，则的最小值为______．

16．已知O是坐标原点，，分别是椭圆E：（）的左、右焦点，M是E上一点，，且的面积为，则E的离心率为______．

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

已知双曲线C的中心在原点，且过点，分别根据下列条件求C的标准方程．

（1）C的离心率为；

（2）焦点在x轴上，且点在C的渐近线上．

18．（本小题满分12分）

已知公比大于1的等比数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）求．

19．（本小题满分12分）

已知圆C的圆心在直线上，且圆C过点，．

（1）求圆C的标准方程；

（2）若圆与圆C关于直线对称，求圆的标准方程．

20．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，，．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设，求数列的前n项和．

21．（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面ABCD为正方形，二面角为直二面角，，点M为棱AD的中点．

（1）求证：；

（2）若，点N是线段BD上靠近B的三等分点，求直线PA与平面PMN所成角的正弦值．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆C：（）的离心率为，且过点．

（1）求C的标准方程；

（2）过C的左焦点且斜率为的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积为时，求k的值．

数学（人教A版）参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．A  由题意得，椭圆的焦点在y轴上，，，∴，

∴椭圆的焦点坐标是．故选A．

2．B  由题意得，，解得．故选B．

3．A  ∵直线l的方程为，即，∴直线l恒过定点，

∵，即该点在圆C：内，∴直线l与圆C相交．故选A．

4．D  写出数列的前几项：1，3，2，―1，―3，―2，1，3，2，―1，―3，―2，1，…，发现数列是周期为6的周期数列，∴．故选D．

5．C  由题意得，

．故选C．

6．D  设抛物线C的准线与x轴交于点Q，点P的横坐标为，过点P作准线的垂线交准线于G，过F作，垂足为H，∴，，由抛物线的定义知，∵，∴，，∴，解得．故选D．

7．C  由题意设，，，则，，即，．∵，∴，解得．故选C．

8．B  由题意得，圆C的标准方程为，∵过点P向圆C作切线，则切线长为，∴要使得切线长最小，只需最小，∴当时，最小，即切线长最小，此时，∴切线长为．故选B．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．AB  对于A，当时，，∴，∴直线过点，故A正确；对于B，由题意得，，∴该直线的斜率为，故B正确；对于C，∵直线的斜率为，∴直线的倾斜角为，故C错误；对于D，当时，，∴该直线在x轴上的截距为2，故D错误．故选AB．

10．BCD  当曲线C为圆时，则，无解，故A错误；当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故B正确；若，则，，此时曲线C是椭圆，故C正确；若曲线C为双曲线，则，解得，故D正确．故选BCD．

11．AC  设数列的公比为q．对于A，∵，，∴，又，∴．

∵，∴，故A正确；对于B，∵，∴，即，故B错误；对于C，∵，，∴数列是递减数列，∵，，∴是数列中的最大项，故C正确；对于D，，∵，∴，即．故D错误．故选AC．

12．ABD  以A为坐标原点，以AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，∴，∴直线与EF所成角为，故A正确；设平面EFG的法向量为，则，令，则，，

∴．设，则，∵平面EFG，

∴，即，解得，即，∴点P为线段的中点，故B正确；，故C错误；

取的中点Q，的中点H，的中点K，连接GQ，QH，HK，KE，则过点E，F，G作正方体的截面，截面为正六边形EFGQHK，边长为，则正六边形EFGQHK的面积为，即截面面积为，故D正确．故选ABD．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．5

由题意得，，，∵四边形OABC为平行四边形，∴，∴，，∴．

14．

由题意得，，即，解得．

15．4

圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为3.∵圆和圆只有一条公切线，

∴圆与圆内切，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为4．

16．

∵，∴，∴，，

∵，

∴，∴①，由椭圆的定义知，②，由得，，∴，∴，∴离心率．

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分10分）

（1）由离心率为，可设C的方程为，

∵C过点，∴，即，∴C的标准方程为．

（2）由题意设C的方程为（，），

∵点在C的渐近线上，∴，

又C过点，∴，两式联立解得，，∴C的标准方程为．

18．（本小题满分12分）

（1）设等比数列的公比为，

则，解得．∴．

（2）令，则，∴，

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴．

19．（本小题满分12分）

（1）设圆C的方程为，则，解得，

即圆C的方程为，∴圆C的标准方程为．

（2）由（1）得圆C的圆心，半径，

设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称，

则有，解得，即．

∴圆的标准方程为．

20．（本小题满分12分）

（1）∵，∴，

当时，

，

∴，

∵，∴，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列．

（2）由（1）得，∴，

∴，

则，

两式相减得

，

∴．

21．（本小题满分12分）

（1）取AB的中点O，CD的中点G，连接OG，OP，

∵二面角为直二面角，，∴平面ABCD，

又四边形ABCD是正方形，∴OB，OP，OG两两垂直．

以O为坐标原点，OB，OG，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设，，则，，，，

∴，，

∴，∴，即．

（2）∵，∴是等边三角形．

由（1）得，，，，，

∴，，，．

由题意知，∴．

设平面PMN的法向量为，则，

令，得．

设直线AP与平面PMN所成的角为，

则，

∴直线PA与平面PMN所成角的正弦值为

22．（本小题满分12分）

（1）设椭圆的半焦距为c，由题意得，，解得，

∴C的标准方程为．

（2）由（1）得，椭圆C的左焦点为，∴直线l的方程为，

设，，

联立，整理得，

∴，，

∴，

∴，解得

以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分．