人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线随堂练习题

第三章　3.2.2

A级——基础过关练

1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)

A．x2－＝1 B．－y2＝1

C．－x2＝1 D．y2－＝1

【答案】C　【解析】由题意可知选项A，B所表示的双曲线焦点在x轴上，所以A，B不正确；由选项C可知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C．

2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)

A．－ B．－4

C．4 D．

【答案】A　【解析】双曲线方程化为标准形式y2－＝1，则有a2＝1，b2＝－，由题设条件知2＝，所以m＝－.

3．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)

A．4 B．3

C．2 D．1

【答案】C　【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，对比3x±2y＝0得a＝2.

4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－y2＝1 D．x2－＝1

【答案】D　【解析】由双曲线的渐近线bx－ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知＝，又因为c＝＝2，所以有a＝1，b＝，故双曲线的方程为x2－＝1.

5．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是__________．

【答案】－＝1　【解析】依题意设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

6．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是__________．

【答案】(－12,0)　【解析】双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又因为e∈(1,2)，则1<<2，解得－12<k<0.

7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为__________．

【答案】y＝±x　【解析】因为e＝＝，不妨设a＝4，c＝1，则b＝，所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

8．双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为________．

【答案】90°　【解析】因为e＝＝，所以＝，即a＝b，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.所以双曲线两条渐近线的夹角为90°.

9．焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是，求此双曲线的标准方程．

解：设双曲线方程为x2－y2＝a2(a>0)，

则它的渐近线方程为y＝±x，

焦点坐标为(a,0)，(－a,0)．

所以＝，a＝.

所以双曲线的标准方程为－＝1.

10．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.　

(1)求C的离心率；

(2)若B在第一象限，求证：∠BFA＝2∠BAF.

(1)解：设双曲线的半焦距为c，

则F(c,0)，B.

∵|AF|＝|BF|，故＝a＋c，故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0.

∴e＝2.

(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0，

∵e＝2，故c＝2a，b＝a.

故渐近线方程为y＝±x，

∴∠BAF∈，∠BFA∈.

又tan∠BFA＝－＝－，tan∠BAF＝，

所以tan 2∠BAF＝＝＝＝＝＝＝－＝tan∠BFA．

而2∠BAF∈，故∠BFA＝2∠BAF.

B级——能力提升练

11．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为(　　)

A．2 B．

C．2 D．4

【答案】B　【解析】因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y＝±x，所以a＝b.因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以a＝1，所以a＝b＝，所以双曲线C的方程为－＝1，焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝.

12．(多选)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A．y＝－x B．y＝－2x

C．y＝x D．y＝2x

【答案】AC　【解析】由e＝＝＝，得2＝2.故渐近线方程为y＝±x.

13．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·＝________.

【答案】0　【解析】由渐近线方程为y＝x知，＝1，所以b＝，因为点P(，y0)在双曲线上，所以y0＝±1，y0＝1时，P(，1)，F1(－2,0)，F2(2,0)，所以·＝0，y0＝－1时，P(，－1)，·＝0.

14．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．

【答案】(1,2)　【解析】△ABE是等腰三角形，AE＝BE，所以只需∠AEB为锐角，所以∠AEF<45°，所以＝AF<FE＝a＋c，所以e2－e－2<0，所以－1<e<2.又因为e>1，所以1<e<2，所以e∈(1,2)．

15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积等于4，求直线l的方程．

解：(1)由已知得c＝2，e＝2，∴a＝1，b＝.

∴双曲线方程为x2－＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1y1)，N(x2，y2)．

联立

得2x2－2mx－m2－3＝0①，

设MN中点为(x0，y0)，则x0＝＝，

y0＝x0＋m＝m，

∴线段MN垂直平分线方程：

y－m＝－，即x＋y－2m＝0，

与坐标轴交点为(0,2m)，(2m,0)，

得|2m|·|2m|＝4，

则m2＝2，即m＝±，

代入①得Δ>0，所以l的方程为y＝x±.

16．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求这两个曲线的方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．

解：(1)设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1(a，b，m，n>0，且a>b)，

则

解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2.

所以椭圆方程为＋＝1，

双曲线方程为－＝1.

(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，

所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，

所以cos∠F1PF2＝＝，

所以sin∠F1PF2＝.

所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×10×4×＝12.

C级——探究创新练

17．已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为________．

【答案】　【解析】设F是双曲线C的右焦点，P为第一象限点．

由双曲线方程可得，a2＝4，b2＝5，则c＝＝3，则以O为圆心、3为半径的圆的方程为x2＋y2＝9.

联立得P.

∴S△OPF＝×3×＝.

18．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．

解：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，

所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|.

所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，

当且仅当＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号．

所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a.

因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a>2c，所以e＝<3.

所以e∈(1,3)．