人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课后练习题

第三章　3.3.3

A级——基础过关练

1．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)

A．4条 B．3条

C．2条 D．1条

【答案】B　【解析】当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条．

2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　)

A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0

C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0

【答案】D　【解析】设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0.

3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D　【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4①.因为|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2②.由①②得x2＝1或x2＝－2(舍去)，所以B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.

4．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为(　　)

A． B．1

C． D．2

【答案】B　【解析】设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，所以2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos 60°＝a2＋b2－ab，配方，得|AB|2＝(a＋b)2－3ab.又因为ab≤2，所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，得到|AB|≥(a＋b)＝|CD|.所以≥1，即的最小值为1.

5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，该抛物线上点P的横坐标为2，则|PF|＝________.

【答案】3　【解析】抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，因为P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，所以|PF|＝2＋1＝3.

6．设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.

【答案】32　【解析】由y2＝8x，得2p＝8，p＝4，则F(2,0)，所以过A，B的直线方程为y＝(x－2)，联立得x2－28x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝28，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝28＋4＝32.

7．抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为________．

【答案】(3,2)或(3，－2)　【解析】设点P的坐标为(x，y)，

∵|PF|＝5，∴2＋x＝5，∴x＝3.把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，∴y＝±2.∴点P的坐标为(3，±2)．

8．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________．

【答案】∪　【解析】设M(x1，x)，N(x2，x)，两点关于直线y＝kx＋对称，显然k＝0时不成立，所以＝－，即x1＋x2＝－.设MN的中点为P(x0，y0)，则x0＝－，y0＝k×＋＝4.又中点P在抛物线y＝x2内，所以4>2，即k2>，所以k>或k<－.

9．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程．

解：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)．

由方程组消去y得2x2－ax＋a＝0.

因为直线与抛物线有两个交点，

所以Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.

设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|AB|＝＝＝.

因为|AB|＝，

所以＝，即a2－8a－48＝0，

解得a＝－4或a＝12，

所以所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y.

10．已知抛物线y2＝2px(1<p<3)的焦点为F，抛物线上的点M(x0,1)到准线的距离为.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N，求的值．

解：(1)由题意知消去x0得2p2－5p＋2＝0，因为1<p<3，解得p＝2，

所以x0＝，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.

(2)因为F(1,0)，M，

所以kMF＝－，直线MF的方程为4x＋3y－4＝0.

联立方程得方程组消去x得y2＋3y－4＝0，解得y＝－4或1，

将y＝－4代入y2＝4x，解得x＝4，

则|MF|＝＋1＝，|NF|＝4＋1＝5，

所以＝＝.

B级——能力提升练

11．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为(　　)

A．－3 B．3

C．2 D．－2

【答案】D　【解析】因为抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，所以＝－1，所以＝－1，所以y1＋y2＝－1.因为y1y2＝－1，所以x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，所以两点A(x1，y1)，B(x2，y2)中点坐标为，代入y＝x＋b，可得b＝－2.

12．(多选)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是(　　)

A．－2 B．－1

C．1 D．2

【答案】BC　【解析】准线x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，得x＝0，即交点为(0,0)；当k≠0时，Δ≥0，－1≤k<0或0<k≤1.综上，k的取值范围是[－1,1]．

13．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．

【答案】32　【解析】设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，y＋y的最小值为32.

14．已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.

【答案】2　【解析】由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1,0)，所以直线AB的方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝1.因为∠AMB＝90°，所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，整理可解得k＝2.

15．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，

所以x1＋x2＝.

由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0即x2－5x＋4＝0，

从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，

从而A(1，－2)，B(4,4)．

设C(x3，y3)，

则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，

又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

16．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：

(1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；

(2)＋为定值.

证明：(1)当AB斜率存在时，

设直线AB：y＝k(k≠0)，

由

消去y得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，

所以x1＋x2＝p.

又k＝tan θ＝，

代入|AB|＝x1＋x2＋p，得

|AB|＝·p＋p＝.

当AB斜率不存在时也成立．

(2)由抛物线的定义，知|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋，

所以＋＝＋，

当AB的斜率不存在时，x1＝x2＝，＋＝

＋＝＋＝.

当AB的斜率存在时，

＋＝＝＝＝.

所以总有＋＝.

C级——探究创新练

17．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l：y＝kx＋b(k≠0)与抛物线C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝6，线段AB的垂直平分线过点M(0,4)，则抛物线C的方程是________；若直线l过点F，则k＝________.

【答案】x2＝4y　±　【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的焦半径公式可得，|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，则|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝6，即y1＋y2＝6－p.因为点M(0,4)在线段AB的垂直平分线上，所以|MA|＝|MB|，则x＋(y1－4)2＝x＋(y2－4)2.因为x＝2py1，x＝2py2，所以(y1－y2)(y1＋y2＋2p－8)＝0.因为y1≠y2，所以y1＋y2＝8－2p，则8－2p＝6－p，解得p＝2，故抛物线C的方程是x2＝4y.因为直线l过点F，所以直线l的方程是y＝kx＋1，联立整理得x2－4kx－4＝0，则x1＋x2＝4k，从而y1＋y2＝k＋2＝4k2＋2.因为y1＋y2＝6－p＝4，所以4k2＋2＝4，解得k＝±.

18．已知抛物线y2＝2x，过定点Q(2,0)的动直线l1与该抛物线交于点A，C．

(1)求A，C两点的纵坐标之积，并证明OA⊥OC；

(2)过点Q作l1的垂线l2交该抛物线于点B，D．设线段AC，BD的中点分别为M，N两点．试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

解：(1)设直线AC为x＝my＋2，A(x1，y1)，C(x2，y2)，

联立直线与抛物线方程得

消元x得y2－2my－4＝0，

所以y1＋y2＝2m，y1·y2＝－4.

所以＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．

所以·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＋y1y2＝－4m2＋4m2＋4－4＝0.

所以⊥，即OA⊥OC．

(2)由(1)可得yM＝＝m，xM＝myM＋2＝m2＋2，

所以M(m2＋2，m)．

设B(x3，y3)，D(x4，y4)，

因为l1与l2垂直，所以y3＋y4＝2＝－，

所以yN＝＝－，

xN＝－yN＋2＝－·＋2＝＋2.

所以N.

所以kMN＝＝＝＝.

所以直线MN的方程为y－m＝(x－m2－2)，整理得m2y－y－m3＋m＝mx－m3－2m，即m2y＋m(3－x)－y＝0，令解得

即直线MN恒过定点(3,0)．