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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念图片ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念图片ppt课件，共46页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识梳理，数列的分类，答案19等内容，欢迎下载使用。
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.(数学抽象、直观想象)2.掌握数列的分类.(逻辑推理)3.理解数列的函数特征,掌握判断数列单调性的方法.(逻辑推理)4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.(数学运算)
【激趣诱思】5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃了一个桃子,然后将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第二只猴子又爬起来,吃了一个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;后面的3只猴子都采用了同样的办法.问:最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?
一、数列 数列中的数不能变换位置1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项. n为正整数3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
易错辨析 (1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
微思考数列与集合之间有怎样的区别与联系?提示 (1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性;(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.
二、数列与函数的关系从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如下表:
微思考数列对应的函数的图象有什么特点?提示 是一系列孤立的点.
微思考若数列{an}满足a1
微练习若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10= ,224是该数列的第 项. 答案 99 15解析 a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.
例1给出下列说法:①数列中的项数一定是无限的;②数列1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷数列;③数列 ,…是递减的无穷数列.其中正确说法的序号是 . 分析根据数列的定义、分类进行判断.答案 ③解析 对于①,错误,数列中的项数可以是有限的或无限的;对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;对于③,正确.
方法技巧数列类型的判断在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限.
变式训练 1下列数列既是递增数列又是无穷数列的是( )A.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-2,-4,-8,…D.5,6,7,8答案 B解析 A,B,C中的数列都是无穷数列,A,C中的数列都是递减数列,虽然D中的数列是递增数列,但是该数列只有四项,是一个有穷数列,故只有B中的数列既是递增数列又是无穷数列.
例2写出下列数列的一个通项公式:
分析观察、分析项的特征,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
解 (1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即 又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.
规律方法 (1)根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:①先统一项的结构,如都化成分数、根式等.②分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.③对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.④对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
(2)常见数列的通项公式如下:①数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.②数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.③数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.④数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.⑤数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.⑥数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.
变式训练 2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
方法技巧(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的项.
角度1 数列单调性判断例4已知数列{an}的通项公式 (k∈R).(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.分析(1)由于数列的通项公式已知,因此可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;(2)可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.
反思感悟 判断数列的单调性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列单调性的步骤为先作差,再变形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.
A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列答案 B
角度2 利用数列单调性求数列最大(小)项例5(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1) (n∈N*),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.分析(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.
∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,
方法技巧求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.
归纳法求数列的通项公式典例 观察下列5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图形中有 个小圆圈. 分析仔细观察每个图形中小圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.
解析 5个图形中小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图形中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.答案 n2-n+1反思感悟 归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.
1.下列各项表示数列的是( )A.△,○,☆,□B.2 008,2 009,2 010,…,2 017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,λa答案 B解析 数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.
2.(2021河南豫南九校高二月考)若数列{an}的通项公式为an=n(n-2),其中n∈N*,则a6=( )A.8B.15C.24D.35答案 C解析 由通项公式可得a6=6×4=24.
3.(2021江苏无锡南菁中学高二期中)有下列一列数:1,2,4,( ),16,32,…,按照规律,括号中的数应为( )A.6B.8C.4D.10答案 B解析 根据前三项和后两项的规律可知,从第二个数起,每个数与前一个数的比都是2,则括号中的数是8.
4.(多选)下列叙述正确的是( )A.数列2,4,6,8与8,6,4,2是相同的数列B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}C.数列0,1,0,1,…是摆动数列D.数列{2n+1}是递增数列答案 CD解析 数列2,4,6,8与8,6,4,2不是相同的数列,故A错误;数列0,1,2,3,…可以表示为{n-1},故B错误;数列0,1,0,1,…是摆动数列,故C正确;数列{2n+1}是递增数列,故D正确.
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.(数学抽象、直观想象)2.掌握数列的分类.(逻辑推理)3.理解数列的函数特征,掌握判断数列单调性的方法.(逻辑推理)4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.(数学运算)
【激趣诱思】5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃了一个桃子,然后将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第二只猴子又爬起来,吃了一个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;后面的3只猴子都采用了同样的办法.问:最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?
一、数列 数列中的数不能变换位置1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项. n为正整数3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
易错辨析 (1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
微思考数列与集合之间有怎样的区别与联系?提示 (1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性;(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.
二、数列与函数的关系从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如下表:
微思考数列对应的函数的图象有什么特点?提示 是一系列孤立的点.
微思考若数列{an}满足a1
微练习若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10= ,224是该数列的第 项. 答案 99 15解析 a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.
例1给出下列说法:①数列中的项数一定是无限的;②数列1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷数列;③数列 ,…是递减的无穷数列.其中正确说法的序号是 . 分析根据数列的定义、分类进行判断.答案 ③解析 对于①,错误,数列中的项数可以是有限的或无限的;对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;对于③,正确.
方法技巧数列类型的判断在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限.
变式训练 1下列数列既是递增数列又是无穷数列的是( )A.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-2,-4,-8,…D.5,6,7,8答案 B解析 A,B,C中的数列都是无穷数列,A,C中的数列都是递减数列,虽然D中的数列是递增数列,但是该数列只有四项,是一个有穷数列,故只有B中的数列既是递增数列又是无穷数列.
例2写出下列数列的一个通项公式:
分析观察、分析项的特征,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
解 (1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即 又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.
规律方法 (1)根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:①先统一项的结构,如都化成分数、根式等.②分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.③对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.④对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
(2)常见数列的通项公式如下:①数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.②数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.③数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.④数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.⑤数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.⑥数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.
变式训练 2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
方法技巧(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的项.
角度1 数列单调性判断例4已知数列{an}的通项公式 (k∈R).(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.分析(1)由于数列的通项公式已知,因此可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;(2)可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.
反思感悟 判断数列的单调性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列单调性的步骤为先作差,再变形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.
A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列答案 B
角度2 利用数列单调性求数列最大(小)项例5(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1) (n∈N*),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.分析(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.
∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1
方法技巧求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.
归纳法求数列的通项公式典例 观察下列5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图形中有 个小圆圈. 分析仔细观察每个图形中小圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.
解析 5个图形中小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图形中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.答案 n2-n+1反思感悟 归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.
1.下列各项表示数列的是( )A.△,○,☆,□B.2 008,2 009,2 010,…,2 017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,λa答案 B解析 数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.
2.(2021河南豫南九校高二月考)若数列{an}的通项公式为an=n(n-2),其中n∈N*,则a6=( )A.8B.15C.24D.35答案 C解析 由通项公式可得a6=6×4=24.
3.(2021江苏无锡南菁中学高二期中)有下列一列数:1,2,4,( ),16,32,…,按照规律,括号中的数应为( )A.6B.8C.4D.10答案 B解析 根据前三项和后两项的规律可知,从第二个数起,每个数与前一个数的比都是2,则括号中的数是8.
4.(多选)下列叙述正确的是( )A.数列2,4,6,8与8,6,4,2是相同的数列B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}C.数列0,1,0,1,…是摆动数列D.数列{2n+1}是递增数列答案 CD解析 数列2,4,6,8与8,6,4,2不是相同的数列,故A错误;数列0,1,2,3,…可以表示为{n-1},故B错误;数列0,1,0,1,…是摆动数列,故C正确;数列{2n+1}是递增数列,故D正确.
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