高中4.2 等差数列授课ppt课件

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1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质.(逻辑推理、数学运算)2.能够运用等差数列的性质解决有关问题.(数学运算)3.能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题.(数学运算)
【激趣诱思】已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d,分别按照以下方法操作,得到的数列还是等差数列吗?(1)将数列中的前m项去掉;(2)取出数列中的所有奇数项;(3)取出数列中所有序号为7的倍数的项.这些问题的结论就是今天我们要学习的“等差数列的性质”.
一、等差数列与一次函数的关系
微练习在等差数列{an}中,a4=6,a6=4,则a10=　　　　　. 答案 0解析 设图象过点(4,6)和(6,4)的一次函数解析式为y=kx+b,则由 解得k=-1,b=10.因此图象过点(4,6)和(6,4)的一次函数解析式为y=-x+10.由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知an=10-n,所以a10=10-10=0.
二、等差数列的常用性质
微思考(1)若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am+an=ap一定成立吗?提示 不一定成立.假设{an}的首项为a1,公差为d,则am+an=2a1+(m+n-2)d,而ap=a1+(p-1)d,只有当a1=d时,am+an=ap成立,否则不成立.(2)若{an}为等差数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是am+an=ap+aq成立的充要条件吗?假如不是,则是什么条件?提示 不是充要条件.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有am+an=ap+aq,反之则不一定,如{an}是常数列.故是充分不必要条件.(3)若一个数列{an}是摆动数列,则{an}可以是等差数列吗?提示 不可以.
例1(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值.(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.分析根据各个题的特征,选择相应等差数列的性质求解.
(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,‘故a19-b19=c19=5+18×2=41.方法技巧求等差数列基本运算的两种方法一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.
变式训练 1(1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9=　　　　　. (2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=　　　　　. 答案 (1)2　(2)24解析 (1)因为数列{an}为等差数列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.(2)(方法1)因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.(方法2)由于等差数列中(n,an)是一条直线上的孤立的点,因此(15,8),(60,20),(75,a75)三点共线,则 ,解得a75=24.
例2(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.分析(1)由于已知条件中含等差数列前3项的和与积,因此可考虑利用等差中项及等差数列性质求解;(2)中涉及四个数成等差数列,因此可考虑用“对称性”设出这四个数.
解 (1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.
方法技巧三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下:(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….这样可减少计算量.
变式训练 2已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.
例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积之和为3升,最下面3节的容积之和为4升,则从上往下数,第5节的容积为(　　)分析设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.
方法技巧解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤:①审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;②建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;③判型,即判断该数列是不是等差数列;④求解,即求出该问题的数学解;⑤还原,即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
变式训练 3(2021江西修水高二月考)某同学参加《二十四节气日中影长变化规律》课题的研究,并测得冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气日中同一固定时刻校内旗杆的影长.由于不慎将大部分数据丢失如下表,表中旗杆影长为19 m是在下列哪个节气日中同一固定时刻测得的(注:据《周髀算经》记载这十二节气日的影长依次构成等差数列)(　　)A.谷雨B.立夏C.小满 D.芒种
等差数列的探索性问题(1)求证:数列{bn}为等差数列.(2)设cn= ,试问数列{cn}中是否存在三项可以构成等差数列?若存在,求出这三项;若不存在,说明理由.分析(1)证明(bn+1-bn)为常数;(2)假设存在三项成等差数列,利用等差中项的性质列式推出一个矛盾的结论.
(2)解 不存在.理由如下:假设数列{cn}中存在三项可以构成等差数列.不妨设为第p,r,q(p方法点睛判断三个数能不能成等差数列,可先假设所证三个数成等差数列,利用等差数列的性质列式,推出矛盾结论.
1.已知等差数列{an},a7+a19=19,a5=1,则a21的值为(　　)A.20B.18C.15D.17答案 B解析 因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.
2.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为(　　)A.7B.5C.3D.1答案 D解析 2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.
3.(2021湖南怀化高二期末)在等差数列{an}中,a2,a4是方程x2-3x-4=0的两根,则a3=(　　)A.2B.3C.±2 D.答案 D解析 由于a2,a4是方程x2-3x-4=0的两根,所以a2+a4=3.又{an}是等差数列,所以a2+a4=2a3,所以a3= .
4.由公差d≠0的等差数列{an}组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是(　　)A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为3d的等差数列答案 C解析 ∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
5.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于　　　　　. 答案 3∶4∶5解析 设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理, 得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.