人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法教学ppt课件

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1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理)
【激趣诱思】摸出粉笔的颜色问题:从一个盒子里摸出第一个粉笔是白色的,第二个也是白色的,第三个、第四个都是白色的,此时能判断盒子里的粉笔都是白色的吗?如果我们要想知道盒子里是不是都是白色粉笔,怎么办呢?如果盒子里粉笔的个数是无限个的话,能判断盒子里粉笔的颜色都是白的吗?当事例(正整数n)有限时,我们可以一一验证来判断命题的正确性,如果当事例(正整数n)是无限时,如何证明与正整数n有关的数学命题的正确性呢?
数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立归纳递推→以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件, 推出“当 n=k+1 时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
微思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示 不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3.
例1(1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“从k到k+1”左端增乘的代数式为　　　　　. 
答案 (1)2(2k+1) 解析 令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),
即当n=k+1时等式也成立.由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立.
反思感悟 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)首先根据待证等式的特征,明确等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得到要证的结论.
反思感悟 “归纳—猜想—证明”的一般环节
变式训练 2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
分析按照数学归纳法的步骤证明,由n=k到n=k+1的推证过程可应用放缩技巧,使问题简单化.
反思感悟 用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)使用数学归纳法证明不等式问题,在证明“n=k+1时命题成立”应明确要证的不等式是什么,怎样利用归纳假设.(2)要善于利用分析法或作差比较法等不等式的方法证明.
数学归纳法在证明整除问题中的应用典例 用数学归纳法证明:23n-1(n∈N*)能被7整除.证明 (1)当n=1时,23×1-1=8-1=7,能被7整除.(2)假设当n=k(k∈N*)时,23k-1能被7整除,那么当n=k+1时,23(k+1)-1=8×23k-1=8×23k-8+7=8(23k-1)+7,因为23k-1能被7整除,所以8(23k-1)+7能被7整除,所以当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,23n-1(n∈N*)能被7整除.
方法点睛使用数学归纳法证明整除问题常用的方法:将n=k+1时的式子分成两部分,一部分应用归纳假设,另一部分通过变形处理,确定其能够被某个数乘除,常用的变形技巧,加减同一个数以方便能够提取公因式.
变式训练 (2021安徽合肥168中学高二月考)用数学归纳法证明“(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除”,在假设n=k(k∈N*)时命题成立之后,需证明n=k+1时命题也成立,这时除了用归纳假设外,还需证明的是余项(　　)能被9整除.A.3·7k+6　　　　　　　B.3·7k+1+6C.3·7k-3D.3·7k+1-3
答案 B解析 假设n=k时命题成立,即(3k+1)·7k-1能被9整除,那么当n=k+1时,[3(k+1)+1]·7k+1-1-[(3k+1)·7k-1]=(3k+4)·7k+1-(3k+1)·7k=[(3k+1)+3]·7k+1-(3k+1)·7k=(3k+1)·7k+1+3·7k+1-(3k+1)·7k=6·(3k+1)·7k+3·7k+1=6·[(3k+1)·7k-1]+3·7k+1+6.由(3k+1)·7k-1能被9整除可知要证上式能被9整除,还需证明3·7k+1+6也能被9整除.故选B.
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(　　)A.(2k+1)+(2k+2)B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)答案 C解析 当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.