人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时随堂练习题

第四章数列

4.1　数列的概念

第1课时　数列的概念与简单表示

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2021福建泉州高二期末)数列{an}中,若an=,则a4=(　　)

A. B. C.2 D.8

答案B

解析由an=可知16-2n>0,即n<8,所以a4=.

2.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,它的第5项的值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案D

解析第5项为(-1)5×=-.

3.已知数列的通项公式an=则a2a3等于(　　)

A.70 B.28 C.20 D.8

答案C

解析由an=

得a2a3=2×10=20.

4.(2021河南八市重点高中高二联考)数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),(-1)n(3n+2)的第2n项为 (　　)

A.6n-1 B.-6n+1

C.6n+2 D.-6n-2

答案B

解析由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.

5.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是 (　　)

A. B.cos

C.cos D.cos

答案D

解析当n=1时,C不成立;当n=2时,B不成立;当n=4时,A不成立.故选D.

6.(多选)已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3可以是(　　)

A.数列{an}中的第1项

B.数列{an}中的第2项

C.数列{an}中的第4项

D.数列{an}中的第6项

答案BD

解析令n2-8n+15=3,解得n=2或n=6,因此3是数列{an}中的第2项和第6项,故选BD.

7.(多选)下列四个选项中,不正确的是(　　)

A.数列,…的一个通项公式是an=

B.数列的图象是一群孤立的点

C.数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列

D.数列,…,是递增数列

答案ACD

解析由通项公式知a1=,故A不正确;易知B正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故C不正确;D中的数列为递减数列,所以D不正确.

8.(多选)(2021海南高二期末)满足下列条件的数列{an}(n∈N*)是递增数列的为(　　)

A.an= B.an=n2+n

C.an=1-2n D.an=2n+1

答案BD

解析an=,a1=1,a2=,不是递增数列,因此A不符合题意;an=n2+n,当n≥2时,an-an-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n>0,是递增数列,因此B符合题意;an=1-2n,当n≥2时,an-an-1=(1-2n)-[1-2(n-1)]=-2,不是递增数列,因此C不符合题意;an=2n+1,函数y=2x+1为增函数,则an=2n+1是递增数列,因此D符合题意.故选BD.

9.数列,…中,有序数对(a,b)可以是　　　　　. 

答案(15,26)

解析由已知,各项可写为,…,

可得a=3×5=15,b=24+2=26,故数对(a,b)为(15,26).

10.写出以下各数列的一个通项公式.

(1)1,-,-,….

(2)10,9,8,7,6,….

(3)2,5,10,17,26,….

(4),….

(5)3,33,333,3 333,….

解(1)an=(-1)n+1;

(2)an=11-n;

(3)an=n2+1;

(4)an=;

(5)an=(10n-1).

11.已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.

(1)求a5.

(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?

解(1)由已知,得

解得所以an=n2-7n+6,

所以a5=52-7×5+6=-4.

(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.

关键能力提升练

12.下列图案关于星星的数量构成一个数列,该数列的一个通项公式是(　　)

A.an=n2-n+1 B.an=

C.an= D.an=

答案C

解析由图形可知,当n=1时,有1个,排除BD;当n=3时,有6个,排除A.

故选C.

13.数列,-,-,…的第10项是(　　)

A.- B.-

C.- D.-

答案C

解析由数列,-,-,…,

可知,奇数项的符号为正号,偶数项的符号为负号,

而分子为偶数2n(n为项数),分母比分子大1,

故可得到通项公式an=(-1)n+1·,

所以a10=(-1)11·=-.

14.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于(　　)

A.28 B.32 C.33 D.27

答案B

解析因为数列的前几项为2,5,11,20,x,47,

其中5-2=1×3,11-5=2×3,20-11=3×3,

可得x-20=4×3,解得x=32,故选B.

15.(2021广西南宁二中高二月考)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是 (　　)

A.第4项 B.第5项

C.第6项 D.第7项

答案C

解析因为an=-2n2+25n=-2n-2+,且n∈N*,所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项.

16.(多选)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以是(　　)

A.an= 

B.an=1+(-1)n+1

C.an=2sin  

D.an=

答案ABC

解析∵an=∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;

∵an=2sin ,∴a1=2=2,a2=2=0,

a3=2=2,a4=2=0,故C正确;

∵an=,∴a1==2,a2==1,a3==2,a4==1,故D错误.故选ABC.

17.(2021辽宁锦州义县高二月考)已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为　　　　　　. 

答案(0,+∞)

解析由数列{an}为递减数列可知an+1<an对n∈N*恒成立,即,因此<0,

即k>3-3n,因为n∈N*,所以3-3n≤0(n=1时等号成立),即3-3n的最大值为0,所以k>0.

18.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=　　　　　,bn=　　　　　. 

答案n-1　n2-3n+3

解析当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,

即an=n-1;

将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.

19.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).

(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?

(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?

解(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得=1,

而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.

(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,

则有an=an+1,即.

解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.

学科素养创新练

20.(2021浙江金丽衢十二校高三联考)若数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则这个数列中的最大项是(　　)

A.第43项 B.第44项

C.第45项 D.第46项

答案C

解析设f(x)=(x>0),

则f(x)=,又由x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,

则当x=时,x+取得最小值,此时f(x)取得最大值,

而44<<45,a44=<a45=,则数列中的最大项是第45项.

21.在数列{an}中,an=.

(1)求数列的第7项.

(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.

(3)区间内有没有数列中的项?若有,有几项?

(1)解a7=.

(2)证明∵an==1-,

∴0<an<1,故数列的各项都在区间(0,1)内.

(3)解令,则<n2<2,n∈N*,

故n=1,即在区间内有且只有1项a1.