人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时达标测试

4.2　等差数列

4.2.1　等差数列的概念

第1课时　等差数列的概念及通项公式

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2021河南郑州高二期末)2 020是数列2,4,6,8,…的 (　　)

A.第1 008项 B.第1 009项

C.第1 010项 D.第2 020项

答案C

解析数列2,4,6,8,…为等差数列,设等差数列为{an},则其首项为2,公差为2,通项公式为an=2+(n-1)×2=2n,令2n=2 020,得n=1 010.故选C.

2.(2021陕西宝鸡高二期末)在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,则a10=(　　)

A.25 B.28

C.31 D.34

答案B

解析设公差为d,因为在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,所以2a1+10d=32,a1+d=4,解得a1=1,d=3,

所以a10=a1+9d=28.

3.在等差数列{an}中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=(　　)

A.50 B.49

C.48 D.47

答案A

解析设等差数列{an}的公差为d,∵a1=,a4+a5=,

∴2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)×,则ak==33,解得k=50.

4.在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为 (　　)

A. B.-

C.- D.-1

答案B

解析设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,

解得d=-,因此新等差数列的公差为-.

5.(多选)等差数列20,17,14,11,…中的负数项可以是 (　　)

A.第7项 B.第8项

C.第9项 D.第10项

答案BCD

解析易知该数列的首项a1=20,公差d=-3,

∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,

∴a7=2>0,a8=-1<0.

故数列中的负数项是第8项及其之后的项,故选BCD.

6.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=　　　　　. 

答案-4

解析设等差数列{an}的公差为d,

由题意a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,

解得a1=-10,d=3,

∴a3=a1+2d=-10+6=-4.

7.已知a>0,b>0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m=　　　　　. 

答案

解析∵a>0,b>0,2a=3b=m≠1,∴a=,b=.

∵a,ab,b成等差数列,∴2ab=a+b,

∴2×.

∴lg m=(lg 2+lg 3)=lg 6=lg .则m=.

8.已知x,y,z成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.

证明因为x,y,z成等差数列,所以2y=x+z,

而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x

=x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),

故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.

9.已知数列{an},a1=1,an+1=2an+2n.

(1)设bn=,证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明因为an+1=2an+2n,

所以+1,

所以=1,n∈N*.

又因为bn=,所以bn+1-bn=1.所以数列{bn}是等差数列,其首项b1=a1=1,公差为1.

(2)解由(1)知bn=1+(n-1)×1=n,

所以an=2n-1bn=n·2n-1.

关键能力提升练

10.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是(　　)

A.a6 B.a8

C.a10 D.a12

答案A

解析设等差数列{an}的公差为d.

∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,

∴a6=0,则{an}中一定为零的项是a6.

11.已知等差数列的前4项分别是a,x,b,2x,则等于 (　　)

A. B.

C. D.

答案C

解析依题意,得解得.

12.(2021安徽滁州高二联考)在数列{an}中,a4=49,+2,则a7=(　　)

A.121 B.144

C.169 D.196

答案C

解析由+2得=2,

因此数列{}为等差数列,所以+2(n-1),

因为a4=49,所以+6=7,解得a1=1,所以an=(2n-1)2,a7=169.

13.(多选)(2021山东烟台莱州一中高二月考)数列{an}满足an+1=,a1=1,则下列说法正确的是(　　)

A.数列是等差数列 

B.数列{an}有最小项

C.数列{an}的通项公式为an=2n-1 

D.数列{an}为递减数列

答案AD

解析因为an+1=,a1=1,所以=2+,即=2,

所以是首项为1,公差为2的等差数列,故A正确;

=1+2(n-1)=2n-1,则an=,所以an+1-an==-<0,所以数列{an}为递减数列,故D正确,BC错误.故选AD.

14.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….

(1)求等差数列{an}的通项公式.

(2)135,4b+19(b∈N*)是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?

(3)若am,at(m,t∈N*)是数列{an}中的项,则2am+3at是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?

解(1)设等差数列{an}的公差为d.

依题意,得a1=3,d=7-3=4,

故an=3+4(n-1)=4n-1.

(2)令an=4n-1=135,解得n=34,

故135是数列{an}的第34项.∵4b+19=4(b+5)-1,且b∈N*,∴4b+19是数列{an}的第(b+5)项.

(3)∵am,at是数列{an}中的项,∴am=4m-1,at=4t-1,

∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1.

∵2m+3t-1∈N*,

∴2am+3at是数列{an}的第(2m+3t-1)项.

15.(2021江苏南京第十三中学高二期末)已知数列{an}满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2).

(1)求a2,a3;

(2)证明数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式.

(1)解因为数列{an}满足(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),

所以将n=1代入得3a1=2a2-12.

又a1=2,所以a2=9.将n=2代入得4a2=3a3-24,所以a3=20.

(2)证明将(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2),

可得,

化简得=2.

所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.

所以=1+2(n-1)=2n-1,

从而an=(n+1)(2n-1)=2n2+n-1.

学科素养创新练

16.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.

(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.

(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.

解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,

所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.

从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.

(2)不存在.

理由如下:

由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,

得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),

a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).

若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,

即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.

于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.

这与{an}为等差数列矛盾,所以不存在λ使{an}是等差数列.