广东省2021年中考数学试卷【含答案】

2021年广东省中考数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.

1．下列实数中，最大的数是（　　）

A．π B． C．|﹣2| D．3

2．据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（　　）

A．0.510858×109 B．51.0858×107 

C．5.10858×104 D．5.10858×108

3．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（　　）

A． B． C． D．

4．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　）

A．1 B．6 C．7 D．12

5．若|a|0，则ab＝（　　）

A． B． C．4 D．9

6．下列图形是正方体展开图的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（　　）

A． B．2 C．1 D．2

8．设6的整数部分为a，小数部分为b，则（2a）b的值是（　　）

A．6 B．2 C．12 D．9

9．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p，则其面积S．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（　　）

A． B．4 C．2 D．5

10．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　）

A． B． C． D．1

二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分.

11．二元一次方程组的解为 　                　．

12．把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　         　．

13．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　    　．

14．若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　              　．

15．若x且0＜x＜1，则x2　                　．

16．如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝　                　．

17．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 　                　．

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分.

18．解不等式组．

19．某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：

（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；

（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．

20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．

（1）若AE＝1，求△ABD的周长；（2）若ADBD，求tan∠ABC的值．

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。

21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y图象的一个交点为P（1，m）．

（1）求m的值；（2）若PA＝2AB，求k的值．

22．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．

23．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。

24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．

（1）求证：CF⊥FB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；

（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．

25．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．A．2．D．3．B．4．D．5．B．6．C．7．B．8．A．9．C．10．A．

11．．12．y＝2x2+4x．13．4﹣π．14．x2﹣2＝0（答案不唯一）．

15．．16．．17．．

18．解：解不等式2x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜2，解不等式4x，得：x＞﹣1，

则不等式组的解集为﹣1＜x＜2．

19．解：（1）由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90，

由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90，平均数是：90.5；

（2）根据题意得：600450（人），答：估计该年级获优秀等级学生人数是450人．

20．解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，

C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC，

∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，故△ABD的周长为1．

（2）设AD＝x，∴BD＝3x，

又∵BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝4x，

在Rt△ABD中，AB2．∴tan∠ABC．

21．解：（1）∵P（1，m）为反比例函数y图象上一点，∴代入得m4，∴m＝4；

（2）令y＝0，即kx+b＝0，∴x，A（，0），令x＝0，y＝b，∴B（0，b），

∵PA＝2AB，由图象得，可分为以下两种情况：

①B在y轴正半轴时，b＞0，∵PA＝2AB，过P作PH⊥x轴交x轴于点H，

又B1O⊥A1H，∠PA1O＝∠B1A1O，∴△A1OB1∽△A1HP，∴，

∴B1OPH＝42，∴b＝2，∴A1O＝OH＝1，∴||＝1，∴k＝2；

②B在y轴负半轴时，b＜0，过P作PQ⊥y轴，

∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O＝∠AB2Q，∴△A2OB2△PQB2，

∴，∴AO＝||PO，B2OB2QOQ＝|b|＝2，

∴b＝﹣2，∴k＝6，综上，k＝2或k＝6．

22．解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，

则，解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，

∴猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，

答：猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；

（2）由题意得，当x＝50时，，每天可售出100盒，

当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，

∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40x[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，

配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵x＜70时，y随x的增大而增大，

∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2（65﹣70）2+1800＝1750（元）．

答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．

23．解：延长BF交CD于H，连接EH．∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝AB＝1，∴AC，

由翻折的性质可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB，

∵点E是AD的中点，∴AE＝DE＝EF，

∵∠D＝∠EFH＝90°，

在Rt△EHD和Rt△EHF中，，∴Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），

∴∠DEH＝∠FEH，∴∠HEB＝90°，∴∠DEH+∠AEB＝90°，

∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠DEH＝∠ABE，∴△EDH∽△BAE，∴，

∴DH，CH，∵CH∥AB，∴，∴CGAC．

24．（1）证明：∵CD＝DF，∴∠DCF＝∠DFC，

∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠DFC＝∠EFC，∴∠DFE＝2∠EFC，

∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，

∵CD∥EF，CD∥AB，∴AB∥EF，∴∠EFB＝∠AFB，∴∠AFE＝2∠BFE，

∵∠AFE+∠DFE＝180°，∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，∴∠AEF+∠EFC＝90°，

∴∠BFC＝90°，∴CF⊥BF；

（2）证明：如图1，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，

∴∠OHC＝90°＝∠ABC，∴OH∥AB，

∵AB∥CD，∴OH∥AB∥CD，

∵AB∥CD，AB≠CD，∴四边形ABCD是梯形，∴点H是BC的中点，即OH是梯形ABCD的中位线，∴OH（AB+CD），

∵AB＝AF，CD＝DF，∴OH（AF+DF）AD，

∵OH⊥BC，∴以AD为直径的圆与BC相切；

（3）如图2，由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，∵∠DFE＝120°，∴∠CFE＝60°，

在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，∴CF＝2EF＝4，

∴CE2，

∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ECD＝∠CEF＝90°，

过点D作DM⊥EF，交EF的延长线于M，∴∠M＝90°，∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，

∴四边形CEMD是矩形，∴DM＝CE＝2，过点A作AN⊥EF于N，

∴四边形ABEN是矩形，∴AN＝BE，

由（1）知，∠CFB＝90°，∵∠CFE＝60°，∴∠BFE＝30°，

在Rt△BEF中，EF＝2，∴BE＝EF•tan30°，∴AN，∴S△ADE＝S△AEF+S△DEF

EF•ANEF•DMEF（AN+DM）2×（2）．

25．解：（1）不妨令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解得：x1＝x2＝3，

当x＝3时，4x﹣12＝2x2﹣8x+6＝0．∴y＝ax2+bx+c必过（3，0），

又∵y＝ax2+bx+c过（﹣1，0），

∴，解得：，∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，

又∵ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，∴ax2﹣2ax﹣3a﹣4x+12≥0，

整理得：ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，∴a＞0且△≤0，

∴（2a+4）2﹣4a（12﹣3a）≤0，∴（a﹣1）2≤0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．

∴该二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

（2）令y＝x2﹣2x﹣3中y＝0，得x＝3，则A点坐标为（3，0）；

令x＝0，得y＝﹣3，则点C坐标为（0，﹣3）．

设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0），

根据平行四边对角线性质以及中点坐标公式可得：

①当AC为对角线时，，

即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，∴n＝1，即N1（1，0）．

②当AM为对角线时，，

即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，∴n＝5，即N2（5，0）．

③当AN为对角线时，，

即，解得：m1＝1，m2＝1，∴n或﹣2，

∴N3（，0），N4（﹣2，0）．

综上所述，N点坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣2，0）．