中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习六（含答案）

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中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习六1.如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；(3)点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标.               2.如图1，B(2m，0)，C(3m，0)是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E(0，n)为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax2+bx+n(a≠0)过E，A′两点.(1)填空：∠AOB=　   　°，用m表示点A′的坐标：A′(　   　，　   　)；(2)当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；(3)若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：①求a，b，m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围.            3.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？(3)在抛物线的对称轴上有一点M，使MD+ME的值最小，试求出点M的坐标，并求MD+ME的最小值．                4.如图,抛物线y=ax2+bx﹣4经过A(﹣3，0)、B(2，0)两点,与y轴的交点为C,连接AC、BC,D为线段AB上的动点,DE∥BC交AC于E,A关于DE的对称点为F,连接DF、EF．(1)求抛物线的解析式；(2)EF与抛物线交于点G,且EG：FG=3：2,求点D的坐标；(3)设△DEF与△AOC重叠部分的面积为S,BD=t,直接写出S与t的函数关系式．                   5.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(﹣1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．(1)若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；(2)点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．                  6.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，﹣2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x=﹣1．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在第二象限内，且PE=OD，求△PBE的面积．(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
0.参考答案1.解：(1)在y=﹣x+3种，令y=0得x=4，令x=0得y=3，∴点A(4，0)、B(0，3)，把A(4，0)、B(0，3)代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；(2)如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，则△PEQ∽△OBQ，∴=，∵=y、OB=3，∴y=PE，∵P(m，﹣m2+m+3)、E(m，﹣m+3)，则PE=(﹣m2+m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+m，∴y=(﹣m2+m)=﹣m2+m=﹣(m﹣2)2+，∵0＜m＜3，∴当m=2时，y最大值=，∴PQ与OQ的比值的最大值为；(3)由抛物线y=﹣x2+x+3易求C(﹣2，0)，对称轴为直线x=1，∵△ODC的外心为点M，∴点M在CO的垂直平分线上，设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，∴sin∠ODC=sin∠OMN==，又MO=MD，∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，此时⊙M与直线x=1相切，MD=2，MN=，∴点M(﹣1，﹣)，根据对称性，另一点(﹣1，)也符合题意；综上所述，点M的坐标为(﹣1，)或(﹣1，﹣).2.解：(1)∵B(2m，0)，C(3m，0)，∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，∵AB=2BC，∴AB=2m=0B，∵∠ABO=90°，∴△ABO为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′(m，﹣m)；故答案为：45；m，﹣m；(2)△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A(2m，2m)，B(2m，0)，∵=，∴P(2m， m)，∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为y=a(x﹣m)2﹣m，∵抛物线过点E(0，n)，∴n=a(0﹣m)2﹣m，即m=2n，∴OE：OD′=BC：AB=1：2，∵∠EOD′=∠ABC=90°，∴△D′OE∽△ABC；(3)①当点E与点O重合时，E(0，0)，∵抛物线y=ax2+bx+n过点E，A′，∴，整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C(3m，0)，此时MN的最大值为10，]∴a(3m)2﹣(1+am)•3m=0，整理得：am=，即抛物线解析式为y=x2﹣x，由A(2m，2m)，可得直线OA解析式为y=x，联立抛物线与直线OA解析式得：，解得：x=5m，y=5m，即M(5m，5m)，令5m=10，即m=2，当m=2时，a=；若抛物线过点A(2m，2m)，则a(2m)2﹣(1+am)•2m=2m，解得：am=2，∵m=2，∴a=1，则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1.3.解：(1)∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=(8﹣x)2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3，10)，C(8，0)，O(0，0)∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．(2)∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由(1)可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得：t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得：t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．(3)如图所示：作点D(3，10)关于对称轴x=4的对称点D1(5，10)，连接D1E交对称轴x=4于点M，此时MD+ME的值最小，设直线D1E的解析式为：y=kx+b(k≠0)，将E(0，6)，D1(5，10)代入得：，解得：，故直线D1E的解析式为：y=x+6(0≤x≤5)，令x=4，解得：y=，∴M(4，)，此时，MD+ME=ME+MD1=D1E=．4.解：(1)将A(﹣3，0)和B(2，0)代入y=ax2+bx﹣4，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4；(2)令x=0代入y=x2+x﹣4，∴y=﹣4，∴C(0，﹣4)，∴OC=4，∵OA=3，∴由勾股定理可求得：AC=5，∵OB=2，∴AB=OA+OB=5，∴∠ACB=∠ABC，∵A与F关于DE对称，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADE=∠FED，∴AB∥EF，设点G的坐标为(a， a2+a﹣4)，∴E的纵坐标为a2+a﹣4，设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A(﹣3，0)和C(0，﹣4)代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣4，把y=a2+a﹣4代入y=﹣x﹣4，∴x=﹣a2﹣a，∴E的坐标为(﹣a2﹣a，a2+a﹣4)，∴EG=a﹣(﹣a2﹣a)=a2+a，过点E作EH⊥x轴于点H，如图2，∴sin∠EAH=，∴=，∴AE=HE=(4﹣a2﹣a)，∴AE=EF=(4﹣a2﹣a)，∵EG：FG=3：2，∴EG=EF，∴a2+a=×(4﹣a2﹣a)，∴解得a=﹣3或a=1，当a=﹣3时，此时G与A重合，∴a=﹣3不合题意，舍去，当a=1时，∴AD=AE=(4﹣a2﹣a)=，∴D的坐标为(，0)；(3)如图2，当≤t＜5时，此时△DEF与△AOC重叠部分为△DEF，∵BD=t，∴AD=AB﹣BD=5﹣t，∴AE=AD=5﹣t，过点E作EH⊥x轴于点H，由(2)可知：sin∠EAH=，∴=，∴EH=(5﹣t)，∴S=AD•EH=(5﹣t)2，如图3，当2≤t＜时，过点D左DI⊥EF于点I，设EF与y轴交于点M，DF与y轴交于点N，此时△DEF与△AOC重叠部分为四边形EMND，∵AE=AD=5﹣t，∴CE=AC﹣AE=t，∵EF∥AB，△CEM∽△CAO，∴=，∴，∴EM=t，∵AE=EF，∴MF=EF﹣EM=5﹣t，∵∠CAB=∠EFD，∴tan∠EFD=tan∠CAB=，∴，∴MN=(5﹣t)，∵DI=EH=(5﹣t)，∴S=DI•EF﹣MF•MN=×(5﹣t)2﹣×(5﹣t)2=﹣t2+t﹣，如图4，当0＜t＜2时，设DE与y轴交于点M，EF与y轴交于点N，此时△DEF与△AOC重叠部分为△EMN，∵AE=5﹣t，∴CE=t，∵EF∥AB，∴△CEN∽△CAO，∴=，∴，∴EN=t，∵∠MEN=∠ADE=∠ABC，∴tan∠MEN=tan∠ABC==2，∴，∴MN=2EN=t，∴S=EN•MN=×t×t=t2，综上所述，当0＜t＜2时，S=t2；当2≤t＜时，S=﹣t2+t﹣；当≤t＜5时，S=(5﹣t)2．5.解：(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是(0，4)，∴点A′的坐标为：(4，0)，∵点A、C的坐标分别是(0，4)、(﹣1，0)，抛物线经过点C、A、A′，设抛物线的解析式为：y=ax2＋bx＋c，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2＋3x＋4； (2)连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx＋b，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x＋4，设点M的坐标为：(x，﹣x2＋3x＋4)，则S△AMA′=×4×[﹣x2＋3x＋4﹣(﹣x＋4)]=﹣2x2＋8x=﹣2(x﹣2)2＋8，∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，∴M的坐标为：(2，6)；(3)设点P的坐标为(x，﹣x2＋3x＋4)，当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是(0，4)、(﹣1，0)，∴点B的坐标为(1，4)，∵点Q坐标为(1，0)，P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣x2＋3x＋4=±4，当﹣x2＋3x＋4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1(0，4)，P2(3，4)；当﹣x2＋3x＋4=﹣4时，解得：x3=＋，x2=﹣，∴P3(＋，﹣4)，P4(﹣，﹣4)；②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1(0，4)，P2(3，4)，P3(＋，﹣4)，P4(﹣，﹣4)；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：(0，0)或(3，0)．6.解：(1)点A的坐标是(2，0)，抛物线的对称轴是直线x=﹣1，则点B(﹣4，0)，则函数的表达式为：y=a(x﹣2)(x+4)=a(x2+2x﹣8)，即：﹣8a=﹣2，解得：a=，故抛物线的表达式为：y=x2+x﹣2；(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：直线BC的表达式为：y=﹣x﹣2，则tan∠ABC=，则sin∠ABC=，设点D(x，0)，则点P(x，x2+x﹣2)，点E(x，x﹣2)，∵PE=OD，∴PE=(x2+x﹣2﹣x+2)=(﹣x)，解得：x=0或﹣5(舍去x=0)，即点D(﹣5，0)S△PBE=×PE×BD=(x2+x﹣2﹣x+2)(﹣4﹣x)=；(3)由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD=BM的情况，BD=1=BM，则yM=﹣BMsin∠ABC=﹣，则xM=﹣4+，故点M(﹣4+，﹣)．