中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习十（含答案）

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中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习十1.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．(1)填空：点A坐标为        ；抛物线的解析式为             ．(2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？           2.如图，直线y=－x＋分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2＋bx＋经过A、B两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．                   3.如图1，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为﹣8、2．(1)求二次函数的解析式；(2)直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD中点．①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；(3)在(2)的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．               4.如图1，二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．(1)写出点D的坐标______．(2)点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点B；②点R在二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为______时，二次函数y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M(0，m)作x轴的平行线，分别交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)、y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象于点E、F、G、H(点E、G在对称轴l左侧)，过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．            5.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=.(1)已知点A(﹣5，8)在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；(2)已知二次函数y=﹣x2＋4x﹣.①当点B(m，)在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2＋4x﹣的相关函数的最大值和最小值.                   6.如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为(2，6)，点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m，6)是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(3)如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．
0.参考答案1.解：(1)∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A在DE上，∴点A坐标为(1，4)，设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+4，把C(3，0)代入抛物线的解析式，可得a(3﹣1)2+4=0，解得a=﹣1．故抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4，即y=﹣x2+2x+3；(2)依题意有：OC=3，OE=4，∴CE==5，当∠QPC=90°时，∵cos∠QPC==，∴=，解得t=；当∠PQC=90°时，∵cos∠QCP==，∴=，解得t=．∴当t=或t=时，△PCQ为直角三角形；(3)∵A(1，4)，C(3，0)，设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得．故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵P(1，4﹣t)，将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+t，∴Q点的横坐标为1+t，将x=1+t代入y=﹣(x﹣1)2+4中，得y=4﹣t2．∴Q点的纵坐标为4﹣t2，∴QF=(4﹣t2)﹣(4﹣t)=t﹣t2，∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQ×AG+FQ×DG=FQ(AG+DG)=FQ×AD=×2(t﹣t2)=﹣(t﹣2)2+1，∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．故答案为：(1，4)，y=﹣(x﹣1)2+4．2.解：(1)∵直线y=－x＋与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴令x=0得y=，令y=0得x=3，∴点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，)．∴tan∠CBO==，∴∠CBO=30°，∴∠BCO=60°，∵AC⊥BC，∴∠ACO=30°，∴AO=CO·tan∠ACO=×=1，∴点A的坐标为(－1，0)；(2)∵抛物线y=ax2＋bx＋经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=－x2＋x＋；(3)∵MD∥y轴，∴∠MDH=∠BCO=60°，∵MH⊥BC，∴HD=MD，MH=MD.∴△DMN的周长为(1＋＋)MD.设点D的坐标为(t，－t＋)，则点M的坐标为(t，－t2＋t＋)，∵点M在直线BC上方的抛物线上，∴MD=(－t2＋t＋)－(－t＋)=－t2＋t=－(t－)2＋.∵0＜t＜3，∴当t=时，MD有最大值，且MD的最大值为，∴△DMH周长的最大值为(1＋＋)×=.3.解：(1)∵函数y=ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2＋bx＋c=0两根为：﹣8，2，∴A(﹣8，0)、B(2，0)，即OB=2，又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C(0，﹣6)，将A(﹣8，0)、B(2，0)代入y=ax2＋bx﹣6中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y=x2＋x﹣6；(2)①如图1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，∴HK=BC，在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，∴BC=2，∴HK=，即P的运动路程为：；②∠EPF的大小不会改变，理由如下：如图2，∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE=AD=PA，∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，∴∠EPF=∠EPD＋∠FPD=2(∠PAE＋∠PAF)，即∠EPF=2∠EAF，又∵∠EAF大小不变，∴∠EPF的大小不会改变；(3)设△PEF的周长为C，则C△PEF=PE＋PF＋EF，∵PE=AD，PF=AD，∴C△PEF=AD＋EF，在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，∵tan∠BAC==，∴tan∠EPG==，∴EG=PE，EF=PE=AD，∴C△PEF=AD＋EF=(1＋)AD=AD，又当AD⊥BC时，AD最小，此时C△PEF最小，又S△ABC=30，∴BC×AD=30，∴AD=3，∴C△PEF最小值为：AD=．4.解：(1)∵y1=(x﹣2)(x﹣4)=x2﹣6x＋8=(x﹣3)2﹣1，∴顶点D的坐标为(3，﹣1)．故答案为：(3，﹣1)．(2)①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，∴点P的坐标为(3，2)，∴二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)与y2=ax2＋bx＋c的图象的对称轴均为x=3，∵点A、B关于直线x=3对称，∴二次函数y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点B．②∵二次函数y2=ax2＋bx＋c的顶点坐标P(3，2)，且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，∴2d=2，解得：d=1．令y1=(x﹣2)(x﹣4)=x2﹣6x＋8中y1=±1，即x2﹣6x＋8=±1，解得：x1=3﹣，x2=3＋，x3=3，∴点R的坐标为(3﹣，1)、(3＋，1)或(3，﹣1)．故答案为：(3﹣，1)、(3＋，1)或(3，﹣1)．③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，直线l也是二次函数y2=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴．∵二次函数y2=ax2＋bx＋c过点A、B，且顶点坐标为P(3，2)，∴二次函数y2=﹣2(x﹣2)(x﹣4)．设N(n，0)，则H(n，﹣2(n﹣2)(n﹣4))，Q(n，(n﹣2)(n﹣4))，∴HN=2(n﹣2)(n﹣4)，QN=(n﹣2)(n﹣4)，∴=2，即=．∵△GHN∽△EHQ，∴．∵G、H关于直线l对称，∴KG=KH=HG，∴．设KG=t(t＞0)，则G的坐标为(3﹣t，m)，E的坐标为(3﹣2t，m)，由题意得：，解得：或(舍去)．故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．5.解：(1)y=ax﹣3的相关函数y=，将A(﹣5，8)代入y=﹣ax＋3得：5a＋3=8，解得a=1；(2)二次函数y=﹣x2＋4x﹣的相关函数为y=，①当m＜0时，将B(m，)代入y=x2﹣4x＋得m2﹣4m＋=，解得：m=2＋(舍去)，或m=2﹣，当m≥0时，将B(m，)代入y=﹣x2＋4x﹣得：﹣m2＋4m﹣=，解得：m=2＋或m=2﹣.综上所述：m=2﹣或m=2＋或m=2﹣；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x＋，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为21.5，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2＋4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=，综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2＋4x﹣的相关函数的最大值为21.5，最小值为﹣.6.解：(1)∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A(2，6)，∴D(6，6)，设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a(6﹣2)2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+2=x2﹣x+3，(2)∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F(m，6)∴E(M，3)，∴BE=0.5M，∴S=(AF+BE)×3=(m﹣2+0，5M)×3=m﹣3∵点F(m，6)是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．(2≤m≤6)(3)∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B(0，3)，C(4，3)，∵A(2，6)，∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P(m,﹣m+9),(2≤m≤6)∴PN=m，PM=﹣1.5m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最大==．