中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习四（含答案）

中考数学二轮专题复习

《函数压轴题》专项练习四

1.如图1，二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．

(1)写出点D的坐标             ．

(2)点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A．

①试说明二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点B；

②点R在二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象上，到x轴的距离为d，

当点R的坐标为             时，二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；

③如图2，已知0＜m＜2，过点M(0，m)作x轴的平行线，分别交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象于点E、F、G、H(点E、G在对称轴l左侧)，过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．

2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(2，4)，直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

(1)求线段OA所在直线的函数解析式；

(2)设抛物线顶点M的横坐标为m，

①用m的代数式表示点P的坐标；

②当m为何值时，线段PB最短；

(3)当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B(2，0)、C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；

(3)如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4.已知抛物线L的解析式为y=ax2﹣11ax﹣24a(a＜0)，如图1抛物线L与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线L上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．

(1)求点B、点C的坐标；

(2)连接OA，若OA=AC．

①求此时抛物线的解析式；

②如图2，将抛物线L沿x轴翻折后得抛物线L′，点M为抛物线LA、C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作x轴的垂线h与抛物线L′交于点M′．设四边形AMCM′的面积为S．试确定S与m之N的函数关系式，并求出当m为何值时．S有最大值，最大值为多少？

5.平面直角坐标系中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+(m﹣2)x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d(d为常数).

(1)若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点.

①当a=1、d=﹣1时，求k的值；

②若y随x的增大而减小，求d的取值范围；

(2)当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；

(3)点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由.

6.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(﹣2，0)，抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17.若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

0.参考答案

1.解：(1)∵y1=(x﹣2)(x﹣4)=x2﹣6x+8=(x﹣3)2﹣1，

∴顶点D的坐标为(3，﹣1)．

(2)①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，

∴点P的坐标为(3，2)，

∴二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)与y2=ax2+bx+c的图象的对称轴均为x=3，

∵点A、B关于直线x=3对称，

∴二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点B．

②∵二次函数yy2=ax2+bx+c的顶点坐标P(3，2)，

且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，

∴2d=2，解得：d=1．

令y1=(x﹣2)(x﹣4)= x2﹣6x+8中y1=±1，

即x2﹣6x+8=±1，解得：x1=3﹣，x2=3+，x3=3，

∴点R的坐标为(3﹣，1)、(3+，1)或(3，﹣1)．

故答案为：(3﹣，1)、(3+，1)或(3，﹣1)．

③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，

直线l也是二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴．

∵二次函数y2=ax2+bx+c过点A、B，且顶点坐标为P(3，2)，

∴二次函数y2=﹣2(x﹣2)(x﹣4)．

设N(n，0)，则H(n，﹣2(n﹣2)(n﹣4))，Q(n，(n﹣2)(n﹣4))，

∴HN=2(n﹣2)(n﹣4)，QN=(n﹣2)(n﹣4)，∴=2，即=．

∵△GHN∽△EHQ，∴．

∵G、H关于直线l对称，

∴KG=KH=HG，∴．

设KG=t(t＞0)，则G的坐标为(3﹣t，m)，E的坐标为(3﹣2t，m)，

由题意得：，解得：或(舍去)．

故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．

2.解：(1)设OA所在直线的函数解析式为y=kx，

∵A(2，4)，∴2k=4，∴k=2，

∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．

(2)①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，

∴y=2m(0≤m≤2)．∴顶点M的坐标为(m，2m)．

∴抛物线函数解析式为y=(x﹣m)2+2m．

∴当x=2时，y=(2﹣m)2+2m=m2﹣2m+4(0≤m≤2)．

∴点P的坐标是(2，m2﹣2m+4)．

②∵PB=m2﹣2m+4=(m﹣1)2+3，

又∵0≤m≤2，∴当m=1时，PB最短．

(3)当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=(x﹣1)2+2

即y=x2﹣2x+3．

假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA=S△PMA．

设点Q的坐标为(x，x2﹣2x+3)．

①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC∥AO，交y轴于点C，

∵PB=3，AB=4，∴AP=1，∴OC=1，∴C点的坐标是(0，﹣1)．

∵点P的坐标是(2，3)，∴直线PC的函数解析式为y=2x﹣1．

∵S△QMA=S△PMA，∴点Q落在直线y=2x﹣1上．

∴x2﹣2x+3=2x﹣1．解得x1=2，x2=2，即点Q(2，3)．

∴点Q与点P重合．

∴此时抛物线上不存在点Q(2，3)，使△QMA与△APM的面积相等．

②当点Q落在直线OA的上方时，

作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE∥AO，交y轴于点E，

∵AP=1，∴EO=DA=1，∴E、D的坐标分别是(0，1)，(2，5)，

∴直线DE函数解析式为y=2x+1．

∵S△QMA=S△PMA，∴点Q落在直线y=2x+1上．

∴x2﹣2x+3=2x+1．解得：x1=2+，x2=2﹣．

代入y=2x+1得：y1=5+2，y2=5﹣2．

∴此时抛物线上存在点Q1(2+，5+2)，Q2(2﹣，5﹣2)

使△QMA与△PMA的面积相等．

综上所述，抛物线上存在点，Q1(2+，5+2)，Q2(2﹣，5﹣2)

使△QMA与△PMA的面积相等．

3.解：(1)由对称性得：A(﹣1，0)，设抛物线的解析式为：y=a(x＋1)(x﹣2)，

把C(0，4)代入：4=﹣2a，a=﹣2，

∴y=﹣2(x＋1)(x﹣2)，

∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2＋2x＋4；

(2)如图1，设点P(m，﹣2m2＋2m＋4)，过P作PD⊥x轴，垂足为D，

∴S=S梯形＋S△PDB=m(﹣2m2＋2m＋4＋4)＋(﹣2m2＋2m＋4)(2﹣m)，

S=﹣2m2＋4m＋4=﹣2(m﹣1)2＋6，

∵﹣2＜0，

∴S有最大值，则S大=6；

(3)如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，

理由是：设直线BC的解析式为：y=kx＋b，

把B(2，0)、C(0，4)代入得：

，解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣2x＋4，

设M(a，﹣2a＋4)，过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的解析式为：y=x＋，

则直线BC与直线AE的交点E(1.4，1.2)，

设Q(﹣x，0)(x＞0)，

∵AE∥QM，∴△ABE∽△QBM，∴①，

由勾股定理得：x2＋42=2×[a2＋(﹣2a＋4﹣4)2]②，

由①②得：a1=4(舍)，a2=，当a=时，x=，∴Q(﹣，0)．

4.解：(1)当y=0时，ax2﹣11ax﹣24a=0，解得x1=3，x3=8，

而点B在点C的左侧，所以B(3，0)，C(8，0)；

(2)①作AD⊥BC于D，如图1，

∵AO=AC，

∴OD=CD=OC=4，∴BD=OD﹣OB=4﹣3=1，

∵∠BAC=90°，∴∠ABD﹣∠ACB=90°，

而∠ABD﹣∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠ACB，

∴Rt△ABD∽Rt△CAD，

∴BD：AD=AD：CD，即1：AD=AD：4，解得AD=2，

∴A(4，2)，

把A(4，2)代入y=ax2﹣11ax﹣24a

得16a﹣44a﹣24a=2，解得a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣5.5x﹣12；

②作AD⊥BC于D，如图2，设M(m，﹣m2﹣5.5m﹣12)，

∵抛物线L沿x轴翻折后得抛物线L′，且过点M作x轴的垂线h与抛物线L′交于点M′，

∴M点和M′关于x轴对称，MM′交x轴于点E，

∴MM′=2ME=﹣m2﹣11m﹣24，

∴S=S△AMM′﹣S△CMM′=CD×MM′=×4×(﹣m2﹣11m﹣24)=﹣2m2﹣22m﹣48

=﹣2(m﹣5.5)2﹣12.5，

当x=5.5时，S有最大值，最大值为12.5．

5.解：(1)①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，

所以二次函数的表达式是y=﹣x2+x+6.

∵a=1，

∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，

把x=1代入抛物线的解析式得：y=6，把x=3代入抛物线的解析式得：y=0，

∴A(1，6)，B(3，0).

将点A和点B的坐标代入直线的解析式得：

，解得：，

所以k的值为﹣3.

②∵y=﹣x2+(m﹣2)x+2m=﹣(x﹣m)(x+2)，

∴当x=a时，y=﹣(a﹣m)(a+2)；当x=a+2时，y=﹣(a+2﹣4)(a+4)，

∵y1随着x的增大而减小，且a＜a+2，

∴﹣(a﹣m)(a+2)＞﹣(a+2﹣m)(a+4)，解得：2a﹣m＞﹣4，

又∵2a﹣m=d，

∴d的取值范围为d＞﹣4.

(2)∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，

∴m=2a+4.

∴二次函数的关系式为y=﹣x2+(2a+2)x+4a+8.

把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8.

把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8.

∴A(a，a2+6a+8)、B(a+2，a2+6a+8).

∵点A、点B的纵坐标相同，

∴AB∥x轴.

(3)线段CD的长度不变.

∵y=﹣x2+(m﹣2)x+2m过点A、点B，2a﹣m=d，

∴y=﹣x2+(2a﹣d﹣2)x+2(2a﹣d).

∴yA=﹣a2+(2﹣d)a﹣2d，yB=a2+(2﹣d)a﹣4d﹣8.

∵把a=0代入yA=﹣a2+(2﹣d)a﹣2d，得：y=﹣2d，

∴C(0，﹣2d).

∵点D在y轴上，即a+2=0，

∴a=﹣2，.

把a=﹣2代入yB=a2+(2﹣d)a﹣4d﹣8得：y=﹣2d﹣8.

∴D(0，﹣2d﹣8).

∴DC=|﹣2d﹣(﹣2d﹣8)|=8.

∴线段CD的长度不变.

6.解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)过点C(0，4)，∴c=4 ①．

∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a ②．

∵抛物线过点A(﹣2，0)，∴0=4a﹣2b＋c ③，

由①②③解得，a=﹣，b=1，c=4，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2＋x＋4；

(2)假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为(t，﹣t2＋t＋4)，其中0＜t＜4，

则FH=﹣t2＋t＋4，FG=t，

∴S△OBF=OB•FH=×4×(﹣t2＋t＋4)=﹣t2＋2t＋8，

S△OFC=OC•FG=×4×t=2t，

∴S四边形ABFC=S△AOC＋S△OBF＋S△OFC=4﹣t2＋2t＋8＋2t=﹣t2＋4t＋12．

令﹣t2＋4t＋12=17，

即t2﹣4t＋5=0，则△=(﹣4)2﹣4×5=﹣4＜0，

∴方程t2﹣4t＋5=0无解，故不存在满足条件的点F；

(3)设直线BC的解析式为y=kx＋n(k≠0)，

∵B(4，0)，C(0，4)，

∴，解得，

∴直线BC的解析式为y=﹣x＋4．

由y=﹣x2＋x＋4=﹣(x﹣1)2＋，∴顶点D(1，)，

又点E在直线BC上，则点E(1，3)，于是DE=﹣3=．

若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，

设点P的坐标是(m，﹣m＋4)，则点Q的坐标是(m，﹣m2＋m＋4)．

①当0＜m＜4时，PQ=(﹣m2＋m＋4)﹣(﹣m＋4)=﹣m2＋2m，

由﹣m2＋2m=，解得：m=1或3．

当m=1时，线段PQ与DE重合，m=1舍去，∴m=3，P1(3，1)．

②当m＜0或m＞4时，PQ=(﹣m＋4)﹣(﹣m2＋m＋4)=m2﹣2m，

由m2﹣2m=，解得m=2±，经检验适合题意，

此时P2(2＋，2﹣)，P3(2﹣，2＋)．

综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1(3，1)，P2(2＋，2﹣)，P3(2﹣，2＋)．

(3)∵DE∥PQ，∴当DE=PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

∵y=﹣x2＋x＋4，∴D(1，)，

∵lBC：y=﹣x＋4，∴E(1，3)，∴DE=﹣3=，

设点F的坐标是(m，﹣m＋4)，则点Q的坐标是(m，﹣m2＋m＋4)，

∴|﹣m＋4＋m2﹣m﹣4|=，∴m2﹣2m=或m2﹣2m=﹣，

∴m=1，m=3，m=2＋，m=2﹣，经检验，当m=1时，线段PQ与DE重合，故舍去．

∴P1(3，1)，P2(2＋，2﹣)，P3(2﹣，2＋)．