云南省官渡区2022-2023学年高二上学期期末学业水平考试数学试题

官渡区2022-2023学年上学期期末学业水平考试

高二年级数学试题卷

（全卷四个大题，共22个小题，共6页；考试用时120分钟，满分150分）

注意事项：

1.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效.

2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线的倾斜角为

A.30°   B.45°   C.60°   D.120°

2.直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则

A.-2   B.2   C.6   D.10.

3.已知圆的圆心坐标为，半径为2，圆与圆关寸x轴对称，则圆的方程为

A.   B.

C.   D.

4.某中学的“帮困助学”爱心募捐小组暑假期间走上街头进行了一次为期7天的募捐活动，共收到捐款1400元，由于采取了积极措施，每天收到的捐款依次构成等差数列，则第4天收到的捐款是（单位：元）

A.100   B.200   C.300   D.400

5.已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是

A.双曲线的焦点坐标为，  B.双曲线的渐近线方程为

C.双曲线的离心率     D.双曲线的实轴长为1

6.如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，设，，，则下列向量与相等的向量是

A.   B.

C.   D.

7.已知直线：，圆：，下列结论错误的是

A.直线的纵截距为

B.上的点到直线的最大距离为5

C.上的点到点的最小距离为

D.上恰有三个点到直线的距离为2

8.中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则直线与平面所成角的正弦值为

A.   B.   C.   D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线：，：，则下列结论正确的是

A.直线过定点    B.当时，

C.当时，   D.当时，两直线，之间的距离为

10.如图，在棱长为1的正方体中，O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是

A.直线与直线是异面直线  B.直线与所成的角为

C.平面     D.点到平面的距离为

11.已知数列的首项为2，且满足，，则

A.数列为等比数列   B.数列为递增数列

C.数列为等差数列   D.数列是公比为的等比数列

12.直线经过抛物线：的焦点为，且与抛物线相交于，两点，则下列结论一定正确的是

A.

B.以线段为直径的圆与直线相切

C.当直线的倾斜角为，

D.过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等比数列满足，则数列已知的通项公式___________.（写出满足条件的一个的通项公式即可）

14.圆在点处的切线方程为____________.

15.已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到的距离为__________.

16.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆外一点，线段与交于点，的内切圆与相切于点，且内切圆圆心恰在线段上.设为坐标原点，若，则的离心率为___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知圆：，直线：.

（1）写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；

（2）当时，直线与圆交于不同的两点A，B，求.

18.（本小题满分12分）已知等差数列为递增数列，且，，是方程的两个根.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和

19.（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为F，准线与x轴交于点A.

（1）过点F的直线交于P，两点，且，求直线的方程；

（2）作直线AM，FM相交于点M，且直线AM的斜率与直线FM的斜率的差是，求点M的轨迹方程，并说明方程表示什么形状的曲线.

20.（本小题满分12分）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.

问题：已知数列的前项和为，，___________.

（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）记数列，数列的前项和为.证明：.

21.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，M，N分别为和的中点，为棱上的点.

（1）证明：；

（2）是否存在点D，使得平面与平面夹角的余弦值为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段的长.

22.（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，焦距为2，为椭圆上一点，且，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于A，B两点，若直线交椭圆于点C，直线BC交轴于点M，求让：.

官渡区2022～2023学年上学期期末学业水平考试

高二年级数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

解：（1）：整理得：

故圆的圆心坐标为，半径为

圆心到直线：的距离为：

所以直线与圆相交.

（2）当时，直线的方程为

因为圆心到直线的距离为：

所以，.

18.（本小题满分12分）

解：（1）解方程得，，

又数列为递增数列，所以，，

由于数列为等差数列，所以则，解得，

所以，

（2）由（1）知，则，

所以

.

19.（本小题满分12分）

解：（1）由题意，，

当直线斜率不存在时，，，所以，不符合题意.

设直线为，，，则

联立，得

所以

所以

解得，直线的方程为

（2）抛物线的准线为，与轴交于点

设点，由题意，

则，

化简得，

方程表示一条除去了A，F两点的抛物线（提到抛物线即可得分）.

20.（本小题满分12分）

解：（1）选①

易知，两式相减得，

即，又，则，

故数列是首项，公比的等比数列，

且

选②

当时，，

当时，，两式相减得，

令得，综上所知，

且，

故数列是首项，公比的等比数列，

选③

当时，，两式相减得，即

即，易求，又，

故，

故数列是首项，公比的等比数列，

且

（2）由（1）知，则，

则，

所以，

所以.

21.（本小题满分12分）

解：（1）证明：由题意，，，两两垂直，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，

所以，

因为

所以

（2）由题意，平面，所以平面的一个法向量为，

因为，所以，

设平面的法向量为，则，

令，则，

设平面与平面的夹角为，则

，

整理得，，解得，

所以存在点，满足条件

22.（本小题满分12分）

解：（1）由题意得，，

因为，所以，

又因为

解得，

椭圆的标准方程为

（2）设直线：，点，，

联立，得，

由题意知，，

所以，，

所以

，

故直线与直线关于轴对称，即轴平分，

由角平分线性质易知：.