中考数学二轮专题复习《圆》解答题专项练习八（含答案）

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《圆》解答题专项练习八

1.如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E，垂足为点F．

（1）证明：DE是⊙O的切线；

（2）若BE=4，∠E=30°，求由、线段BE和线段DE所围成图形（阴影部分）的面积，

（3）若⊙O的半径r=5，sinA=，求线段EF的长．

2.如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上.

（1）试说明CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长.

3.如图,已知在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.

(1)求证：点D是AB的中点；

(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(3)若⊙O的直径为18,cosB=,求DE的长．

4.在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．

（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．

（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．

（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

5.已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB

的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K．

（1）如图 1，求证：KE=GE；

（2）如图 2，连接 CABG，若∠ACH=2∠FGB，求证：CA∥FE；

（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CG 交 AB 于点 N，若 sinE=，AK=，

求 CN的长．

6.问题背景：如图①，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求.

(1)实践运用：如图②，已知⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为____；

(2)知识拓展：如图③，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程.

7.如图：AD是正△ABC的高，O是AD上一点，⊙O经过点D，分别交AB、AC于E、F

（1）求∠EDF的度数；

（2）若AD=6，求△AEF的周长；

（3）设EF、AD相较于N，若AE=3，EF=7，求DN的长．

8.如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT.

(1)如图1，求证：BT是⊙O的切线；

(2)在图1中连接CB，DB，若BC＝2BD，求tan∠T的值；

(3)如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊥CD于点P，若BT＝6，DT＝6.求：DG的长.

0.参考答案

1.解：（1）如图，连接BD.OD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°，

∵BA=BC，∴AD=CD，

又∵AO=OB，∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为x，则OB=OD=x，

在Rt△ODE中，OE=4+x，∠E=30°，

∴=，解得：x=4，

∴DE=4，S△ODE=×4×4=8，

S扇形ODB==，

则S阴影=S△ODE﹣S扇形ODB=8﹣；

（3）在Rt△ABD中，BD=ABsinA=10×=2，

∵DE⊥BC，∴Rt△DFB∽Rt△DCB，

∴=，即=，∴BF=2，

∵OD∥BC，∴△EFB∽△EDO，

∴=，即=，∴EB=，

∴EF==．

2.解：

3.解：

4.解：

（1）连接BD，

∵B（，0），C（0，3），∴OB=，OC=3，

∴tan∠CBO==，

∴∠CBO=60°∵点D是△ABC的内心，

∴BD平分∠CBO，∴∠DBO=30°，

∴tan∠DBO=，∴OD=1，

∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；

 （2）连接DF，过点F作FG⊥y轴于点G，

∵E（0，﹣1）∴OE=1，DE=2，

∵直线EF与⊙D相切，∴∠DFE=90°，DF=1，

∴sin∠DEF=，∴∠DEF=30°，∴∠GDF=60°，

∴在Rt△DGF中，∠DFG=30°，

∴DG=，由勾股定理可求得：GF=，∴F（，），

设直线EF的解析式为：y=kx+b，∴，

∴直线EF的解析式为：y=x﹣1；

 （3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，

∴该点必为△ABC外接圆的圆心，由（1）可知：△ABC是等边三角形，

∴△ABC外接圆的圆心为点D∴DP=2，

设直线EF与x轴交于点H，∴令y=0代入y=x﹣1，∴x=，

∴H（，0），∴FH=，当P在x轴上方时，过点P1作P1M⊥x轴于M，

由勾股定理可求得：P1F=3，∴P1H=P1F+FH=，

∵∠DEF=∠HP1M=30°，

∴HM=P1H=，P1M=5，∴OM=2，∴P1（2，5），

当P在x轴下方时，过点P2作P2N⊥x轴于点N，

由勾股定理可求得：P2F=3，

∴P2H=P2F﹣FH=，∴∠DEF=30°

∴∠OHE=60°∴sin∠OHE=，

∴P2N=4，令y=﹣4代入y=x﹣1，∴x=﹣，

∴P2（﹣，﹣4），

综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，

此时圆心P的坐标为（2，5）或（﹣，﹣4）．

5.解：

（1）证明：连接 OG．

∵EF 切⊙O 于 G，

∴OG⊥EF，

∴∠AGO+∠AGE=90°，

∵CD⊥AB 于 H，

∴∠AHD=90°，

∴∠OAG=∠AKH=90°，

∵OA=OG，

∴∠AGO=∠OAG，

∴∠AGE=∠AKH，

∵∠EKG=∠AKH，

∴∠EKG=∠AGE，

∴KE=GE．

（2）设∠FGB=α，

∵AB 是直径，

∴∠AGB=90°，

∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，

∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，

∵∠FGB=∠ACH，

∴∠ACH=2α，

∴∠ACH=∠E，

∴CA∥FE．

（3）作 NP⊥AC 于 P．

∵∠ACH=∠E，

∴sin∠E=sin∠ACH= =，设 AH=3a，AC=5a，

 则 CH=4a，tan∠CAH= =，

∵CA∥FE，∴∠CAK=∠AGE，

∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，

∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=a，tan∠AKH==3，AK=a，

∵AK=，∴ a=，∴a=1．AC=5，

∵∠BHD=∠AGB=90°，

∴∠BHD+∠AGB=180°，

在四边形 BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，

∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，

∴∠AKH=∠ABG，

∵∠ACN=∠ABG，

∴∠AKH=∠ACN，

∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，

∵NP⊥AC 于 P，

∴∠APN=∠CPN=90°，

在 Rt△APN 中，tan∠CAH==，设 PN=12b，则 AP=9b，

在 Rt△CPN 中，tan∠ACN==3，

∴CP=4b，

∴AC=AP+CP=13b，

∵AC=5，∴13b=5，∴b=，

∴CN= =4 b= ．

6.解：(1)如图①，作点B关于CD的对称点E，连结AE交CD于点P，

此时PA＋PB最小，且等于AE.

作直径AC′，连结C′E.

根据垂径定理得.

∵∠ACD=30°，

∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，

∴∠C′AE=45°，

又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，

∴∠C′=∠C′AE=45°，

∴C′E=AE=AC′=2.

即AP＋BP的最小值是2；

①                　②

解：(2)如答图②，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′.

∵AD平分∠BAC，

∴∠B′AM=∠BAM，AB′=AB，AM=AM，

∴△B′AM≌△BAM(SAS)，

∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，

∴点B与点B′关于直线AD对称.

过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，

则线段B′F的长即为所求.

在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，

∴B′F=AB′·sin45°=AB·sin45°=10×=5，

∴BE＋EF的最小值为5.

7.解：

（1）如图1中，作OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，连接OE，OF．

∵AD是正△ABC的高，

∴∠BAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∵OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，∴∠AIO=∠AJO=90°，

∴∠IOJ=360°﹣90°﹣90°=60°=120°，OI=OJ，

∵OE=OF，∴Rt△OIE≌△Rt△OJF（HL），

∴∠IOE=∠JOF，

∴∠EOF=∠EOJ+∠FOJ=∠EOJ+∠IOE=∠IOJ=120°，

∴∠EDF=∠EOF=60°．

（2）如图1中，作DK⊥AB于K，DL⊥AC于L，DM⊥EF于M，连接FG．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠B=60°，BD=CD，

∵∠EDF=60°，∴∠EDF=∠B，

∵∠EDC=∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，∴∠BED=∠CDF，

∵GD是圆O的直径，∴∠ADC=90°，∠GFD=90°，

∴∠FGD+∠FDG=90°，∠FDC+∠FDG=90°，

∴∠FDC=∠FGD=∠DEF，

∵DK⊥EB，DM⊥EF，∴∠EKD=∠EMD=90°，DK=DM，

∴Rt△DEK≌Rt△DEM（HL），∴EK=EM，

同法可证：DK=DL，∴DM=CL，

∵DM⊥FE，DL⊥FC，∴∠FMD=∠FLD=90°，

∴Rt△DFM≌Rt△DFL（HL），∴FM=FL，

∵AD=AD，DK=DF，∴Rt△ADK≌Rt△ADL（HL），

∴AK=AL，∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EK+AF+FL=2AL，

∵AD=6，∴AL=AD•cos30°=9，

∴△AEF的周长=18．

（3）如图3中，作FP⊥AB于P，作EM⊥AC于M，作NQ⊥AB于Q，DL⊥AC于L．

在Rt△AEM中，∵AE=3，∠EAM=60°，∴AM=AE=，EM=，

在Rt△EFM中，EF===，∴AF=AM+MF=8，

∵△AEF的周长=18，由（2）可知2AL=18，

∴AJ=9，AD==6，∴AP=AF=4，FP=4，

∵NQ∥FP，∵△EQN∽△EPF，∴==，

∵∠BAD=30°，∴AQ=√3NQ，设EQ=x，则QN=4x，AQ=12x，

∴AE=11x=3，∴x=，∴AN=2NQ=，

∴DN=AD﹣AN=．

8.解：(1)证明：CD是⊙O的直径，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，

∴CD⊥AF，∠AEO＝90°，

∴AO2＝OE•OT，AB是圆的直径，

∴，又∠AOE＝∠BOT，

∴△AOE∽△TOB，

∴∠OBT＝∠AEO＝90°，

∴BT是⊙O的切线；

(2)CD是圆的直径，

∴∠CBD＝90°，

又∠OBT＝90°，

∴∠CBO＝∠DBT，

∵OB＝OC，

∴∠C＝∠OBC，

∴∠C＝∠DBT，

又∠T＝∠T，

∴△DBT∽△BCT，

∴，

设DT＝m(m＞0)，

则BT＝2m，CT＝4m，

则CD＝3m，OB＝OD＝1.5m，

在Rt△OBT中，

tanT＝，

(3)∵∠OBT＝90°，

∴OB2＋BT2＝OT2，

设半径为r，又BT＝6，DT＝6，

r2＋(6)2＋(r＋6)2，解得：r＝3，

∴△AOE∽△TOB，

∴，即：，

∴OE＝1，AE＝2，

∵GP⊥CD于点P，∠AEO＝90°，

∴∠AEO＝∠GPO，

又∠AOE＝∠GOP，

∴△AOE∽△GOP，

∴，

设：OP＝a，则PG＝2a，

PD＝OD﹣OP＝3﹣a，

而△PDG∽△EDF，

则，即：，解得：a＝，

∴PD＝，PG＝，

在Rt△PDG中，DG＝＝.