中考数学二轮专题复习《圆》解答题专项练习三（含答案）

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《圆》解答题专项练习三

1.如图，直径为10的半圆O，tan∠DBC=，∠BCD的平分线交⊙O于F，E为CF延长线上一点，且∠EBF=∠GBF．

（1）求证：BE为⊙O切线；

（2）求证：BG2=FG•CE；

（3）求OG的值．

2.如图，已知Rt△ACE中，∠AEC=90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连结BF．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若cos∠CBF=，AE=8，求⊙O的半径；

（3）在（2）条件下，求BF的长．

3.如图，已知⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（﹣4，0）．

（1）求切线BC的解析式；

（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；

（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

4.已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T．

（1）如图1，当C点运动到O点时，求PT的长；

（2）如图2，当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；

（3）如图3，设PT=y，AC=x，求y与x的解析式并求出y的最小值．

5.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：点D是BC的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）如果⊙O的直径为9,cosB=1/3,求DE的长．

6.如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．

（1）∠C的最大度数为        ；

（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；

（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

7.如图，△ABC内接于⊙O，BC=2，AB=AC，点D为上的动点，且cos∠ABC=．

（1）求AB的长度；

（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．

8.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．

（1）求证：AC平分∠FAB；

（2）求证：BC2=CE•CP；

（3）当AB=4且时，求劣弧BD的长度．

0.参考答案

1.解：（1）证明：由同弧所对的圆周角相等得∠FBD=∠DCF，

又∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF，

已知∠EBF=∠GBF，∴∠EBF=∠∠BCF，

∵BC为⊙O直径，∴∠BFC=90°，

∴∠FBC+∠FCB=90°，∴∠FBC+∠EBF=90°，

∴BE⊥BC，∴BE为⊙O切线；

（2）证明：由（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，

∴△BEF∽△CEB，∴BE2=EF•CE，

又∠EBF=∠GBF，BF⊥EG，∴∠BFE=∠BFG=90°，

在△BEF与△BGF中，，∴△BEF≌△BGF，

∴BE=BG，EF=FG，∴BG2=FG•CE；

（3）如图，过G作GH⊥BC于H，∵CF平分∠BCD，∴GH=GD，

∵tan∠DBC=，∴sin∠DBC=，

∵BC=10，∴BD=8，BG=BD﹣GD=8﹣GD，

∴=，∴GD=GH=3，BG=5，BH=4，

∵BC=10，∴OH=OB﹣BH=1，

在Rt△OGH中，由勾股定理得OG=．

2.（1）证明：连接OB，

∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，

∵CB平分∠ACE，∴∠OCB=∠BCF，∴∠OBC=∠BCF，

∴∠ABO=∠AEC=90°，∴OB⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

（2）解：连接DF交OB于G，

∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴∠CFD=∠CEA，

∴DF∥AE，∴∠CDF=∠CAB，

∵∠CDF=∠CBF，∴∠A=∠CBF，∴cos∠CBF=cos∠CEF=，

∵AE=8，∴AC=10，∴CE=6，

∵DF∥AE，∴DF⊥OB，∴DG=GF=BE，

设BE=2x，则DF=4x，CD=5x，

∴OC=OB=2.5x，∴AO=10﹣2.5x，AB=8﹣2x，

∵AO2=AB2+OB2，

∴（10﹣2.5x）2=（8﹣2x）2+（2.5x）2，解得：x=（负值舍去），

∴⊙O的半径=；

（3）解：由（2）知BE=2x=3，

∵AE是⊙O的切线；∴∠BCE=∠EBF，

∵∠E=∠E，∴△BEF∽△CEB，

∴，∴=，∴EF=，

∴BF==．

3.解：

（1）如图1所示，连接AC，则AC=，

在Rt△AOC中，AC=，OA=1，则OC=2，∴点C的坐标为（0，2）；

设切线BC的解析式为y=kx+b，它过点C（0，2），B（﹣4，0），

则有，解之得；∴．

如图1所示，设点G的坐标为（a，c），过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，

则OH=a，GH=c=a+2，

连接AP，AG；

因为AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），

所以∠AGC=×120°=60°，

在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，∴sin60°=，∴AG=；

在Rt△AGH中，AH=OH﹣OA=a﹣1，GH=a+2，

∵AH2+GH2=AG2，∴（a﹣1）2+=，

解之得：a1=，a2=﹣（舍去）； ∴点G的坐标为（， +2）．

如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．

要使△AEF为直角三角形，∵AE=AF，

∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF=90°；

当圆心A在点B的右侧时，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，

在Rt△AEF中，AE=AF=，则EF=，AM=EF=；

在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，则BC=2，

∵∠BOC=∠BMA=90°，∠OBC=∠OBM，∴△BOC∽△BMA，

∴=，∴AB=，∴OA=OB﹣AB=4﹣，

∴点A的坐标为（﹣4+，0）；

当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，

可得：△A′M′B≌△AMB，A′B=AB=，∴OA′=OB+A′B=4+，

∴点A′的坐标为（﹣4﹣，0）；

综上所述，点A的坐标为（﹣4+，0）或（﹣4﹣，0）．

4.解：

5.

（1）证明：连接AD

∵AB为半圆O的直径,∴AD⊥BC 

∵AB=AC 

∴点D是BC的中点

(2)解：相切,连接OD

∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC

∵DE⊥AC∴DE⊥OD

∴DE与⊙O相切

（3）∵AB为半圆O的直径 

∴∠ADB=900在Rt△ADB中 

∵cosB=  ∴BD=3 

∵CD=3 在Rt△ADB中

∴cosC= ∴CE=1∴DE=

6.解：

（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：

∵sin∠OCP===，∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；

（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，

∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，

而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，

即此时OC边上的高最大，

也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=OC•OP=×6×3=9；

（3）证明：连结AP，BP，如图2，

 在△OAP与△OBD中，，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，

∵PC=DB，∴AP=PC，

∵PA=PC，∴∠A=∠C，

∵BC=AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，

在△APB和△CPO中，，∴△APB≌△CPO，

∴∠CPO=∠APB，

∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，

∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．

7.解：

（1）作AM⊥BC，

∵AB=AC，AM⊥BC，BC=2BM，∴CM=BC=1，

∵cosB==，在Rt△AMB中，BM=1，

∴AB==；

（2）连接DC，

∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，

∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC+∠ABC=180°，

∵∠ACE+∠ACB=180°，∴∠ADC=∠ACE，

∵∠CAE公共角，∴△EAC∽△CAD，∴=，

∴AD•AE=AC2=10；

（3）在BD上取一点N，使得BN=CD，

在△ABN和△ACD中

，

∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN=AD，

∵AN=AD，AH⊥BD，∴NH=HD，

∵BN=CD，NH=HD，∴BN+NH=CD+HD=BH．

8.解：