中考数学二轮专题复习《圆》解答题专项练习四（含答案）

中考数学二轮专题复习

《圆》解答题专项练习四

1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6，0)，点B(0，6)，动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列)，连接AB.

(1)当OC∥AB时，∠BOC的度数为　　　　　　；

(2)连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值；

(3)连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由.

2.定义：数学活动课上，老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形.

理解：(1)如图1，已知A、B、C在格点(小正方形的顶点)上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；

(2)如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC＝BD.求证：四边形ABCD是对等四边形；

(3)如图3，在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，BC＝11，tan∠PBC＝，点A在BP边上，且AB＝13.用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长.

3.如图,直线l与⊙O相切于点A,AC为⊙O的直径,AC=8,P是直径AC右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作PB⊥l,垂足为B,连接PA、PC.设PA=x,PB=y.求：

（1）△APC与△APB相似吗？为什么？

（2）求y与x的函数关系式；

（3）当x为何值时，x﹣y取得最大值，最大值为多少？

4.如图，AB，AC分别切⊙O于B，C，⊙O的直径BD=6，连接CD，AO，BC．AO与BC相交于点E．

（1）求证：CD∥AO；

（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（3）若CD、AO（CD＜AO）的长分别为一元二次方程x2﹣9x+18=0的两个实数根，求AB的长．

5.如图，在△ABC中，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC边于点D、E，且=．

（1）如图1，求证：∠ACB=45°；

（2）如图2，过点A作AF⊥BC于点F，交CD弦于点G，求证：AG=2OF；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接GE、GO、DE，若GE⊥GO，⊙O的半径为，求弦DE的长．

6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BF=BC.⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交于点H,连接BD、FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；

（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=1，求HG•HB的值．

7.已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F为⊙O上一点，且FB=FD．

（1）如图1，点F在弧AC上时，求证：∠BDC=∠DFB；

（2）如图2，点F在弧BC上时，过点F作FH∥CD分别交AB、BD于点G、H，求证：BD=2FG；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD、AF，DH：HG=3：5，OG=5，求△ADF的面积．

0.参考答案

1.解：

2.解：(1)如图1所示(画2个即可).

(2)如图2，连结AC，BD，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

在Rt△ADB和Rt△ACB中，

∴Rt△ADB≌Rt△BCA，

∴AD＝BC，

又∵AB是⊙O的直径，

∴AB≠CD，

∴四边形ABCD是对等四边形.

(3)如图3，点D的位置如图所示：

①若CD＝AB，此时点D在D1的位置，CD1＝AB＝13；

②若AD＝BC＝11，此时点D在D2、D3的位置，AD2＝AD3＝BC＝11，

过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，设BE＝x，

∵tan∠PBC＝，∴AE＝x，

在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，

即x2＋＝132，解得：x1＝5，x2＝﹣5(舍去)，

∴BE＝5，AE＝12，

∴CE＝BC﹣BE＝6，

由四边形AECF为矩形，可得AF＝CE＝6，CF＝AE＝12，

在Rt△AFD2中，FD2＝＝＝，

∴CD2＝CF﹣FD2＝12﹣，CD3＝CF＋FD3＝12＋，

综上所述，CD的长度为13，12﹣或12＋.

3.解：

（1）△APC∽△APB，

证明：∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，

∴CA⊥l，∠CPA=90°，

又∵PB⊥l，∴CA∥PB，∴∠CAP=∠APB，

又∵PB⊥l，

∴∠APB=90°，

∴∠CAP=∠ABP，∴△APC∽△APB；

（2）∵△APC∽△APB，

∴，∴．∴y=x2（0＜x＜8）；

（3）x﹣y=x﹣=﹣（（x﹣4）2+2，

∴当x为4时，x﹣y取得最大值，最大值为2．

4.解：

5.解：

（1）证明：如图1中，连接BE．

∵BC 是直径，∴∠BEC=90°，

∵=，∴∠EBC=∠ECB，∴∠ACB==45°．

（2）证明：如图2中，∵∠ACB=45°，AF⊥BC，

∴∠AFB=∠AFC=90°，∴∠CAF=45°=∠ACB，∴AF=CF，

∵BC为直径，∴∠BDC=90°，

∵∠FGC+∠BCD=90°，∴∠B=∠FGC，

在△FBA和△FGC中，，∴△FBA≌△FGC，

∴FG=BF，

∴AG=AF﹣FG=CF﹣BF=OC+OF﹣BF=OB+OF﹣BF=OF+OF=2OF．

（3）如图3中，作EH⊥AF于H，EM⊥CD于M，连接OE．

∴∠EHA=∠EHG=90°，

∵∠BOE=2∠ACB=90°，∠AFC=90°，∴四边形EHFO是矩形，

∴EH∥BC，EH=OF，∴∠AEH=∠ACF=45°，∴AH=EH=OF，

∵AG=2OF，∴HG=AH=EH，∴∠AEH=∠HEG=45°，∴∠AEG=90°，

∵GE⊥GO，∴∠OGE=90°，

∴∠FGO=180°﹣45°﹣90°=45°，∴OF=FG=BF，

∵⊙O半径为，∴OE=OC=，∴CE=，OG=GE=，

∴tan∠DCE=，∴CM=2EM，∴EM=，

∵∠EDM=∠EOC=45°，∴DE=EM=2．

6.解：（1）∵∠ABC=90°，∴∠CBF=90°，

∵FD⊥AC，∴∠CDE=90°，∴∠ABF=∠EBF，

∵∠DEC=∠BEF，∴∠DCE=∠EFB，

∵BC=BF，∴△ABC≌△EBF（ASA）；

（2）BD与⊙O相切．理由：连接OB，

∵DF是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴BD=CD，∴∠DCE=∠DBE，

∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，

∵∠DCE=∠EFB，∴∠DBE=∠OBF，

∵∠OBF+∠OBE=90°，∴∠DBE+∠OBE=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD与⊙O相切；

（3）连接EA，EH，∵DF为线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，

∵△ABC≌△EBF，∴AB=BE=1，

∴CE=AE=，∴，

∴，

又∵BH为角平分线，∴∠EBH=∠EFH=45°，∴∠HEF=∠HBF=45°，∠HFG=∠EBG=45°，

∴△EHF为等腰直角三角形，∴，∴，

∵∠HFG=∠FBG=45°，∠GHF=∠GHF，

∴△GHF∽△FHB，∴，∴，

∴．

7.解：

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴=，∴∠BDC=∠DFB；

（2）证明：如图2，连接FO并延长交BD于点M，连接OD，

在△FOD和FOB中，，∴△FOD≌△FOB（SSS），∴∠DFO=∠BFO，

∵FD=FB，∴FM⊥BD，∴BM=DM=BD，

∵OF=OB，∴∠OFB=∠OBF，∵FH∥CD，∴∠CEG=∠FGB=90°，

在△FGB和△FBM中，，∴△FGB≌△BMF（AAS），

∴FG=BM，∴BD=2FG；

（3）解：如图3，∵DH：HG=3：5，∴设DH=3m，GH=5m，

∵△FGB≌△BMF，∴FM=BG，

在△FHM和△BHG中，，∴△FHM≌△BHG（AAS），

∴HM=GH=5m，DM=8m，BH=13m，在Rt△BGH中，HB=13m，GH=5m，

由勾股定理得：GB=12m，

在Rt△FGO中，FG=8m，OG=5，OF=OB=12m﹣5，

∵FG2+OG2=OF2，∴（12m﹣5）2=（8m）2+52，

解得：m1=，m2=0（舍去）；

∴OB=24，DM=12，OF=OB=13，AB=26，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD==10，

∴S△ADF=×AD×DM=60．