北师大版 (2019)必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质当堂达标检测题

课时作业(二十二)　指数函数的图象和性质(二)

1．当a≠0时，函数y＝ax＋b和y＝bax的图象可能是下图中的(　　)

答案：B　

解析：对于A，由直线知b＝1，a＞0，所以y＝bax＝1，故A错误；对于B，由直线知0＜b＜1，a＞0，所以0＜ba＜1，所以y＝bax＝(ba)x在R上应为减函数，故B正确；对于C，由直线知a＜0，b＞1，所以0＜ba＜1，所以y＝bax＝(ba)x在R上应为减函数，故C错误；对于D，由直线知a＜0，0＜b＜1，所以ba＞1，所以y＝bax＝(ba)x在R上应为增函数，故D错误．故应选B．

2．已知集合M＝{－1,1}，N＝<2x＋1<4，x∈Z，则M∩N＝(　　)

A．{－1,1}       B．{0}

C．{－1}        D．{－1,0}

答案：C　

解析：由<2x＋1<4，得－1<x＋1<2，

∴－2<x<1，又x∈Z，∴x＝－1或0，∴N＝{－1,0}，

∴M∩N＝{－1}．故应选C．

3．如图所示，二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)与指数函数y＝x(a≠0)的图象可能是(　　)

答案：A　

解析：由y＝x，知>0，

∴－<0，排除B，D；

由A，C及指数函数y＝x知，0<<1，排除C．

故应选A．

4．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.

其中不可能成立的关系式有(　　)

A．1个        B．2个

C．3个        D．4个

答案：B　

解析：数形结合易知，若a＝b＝1，则a＝b＝0，故⑤正确；若0＜a＝b＜1，则a＞b＞0，故①正确，③错误；若a＝b>1，则a＜b＜0，故②正确，④错误．所以不可能成立的是③④.

故应选B．

5．设函数y＝f(x)在R内有意义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的递增区间为(　　)

A．(－∞，0)        B．(0，＋∞)

C．(－∞，－1]       D．[1，＋∞)

答案：C　

解析：由f(x)＝2－|x|及K＝，

得fK(x)＝

∴函数fK(x)的递增区间是(－∞，－1]．

6．已知函数f(x)＝|2x－1|的图象与直线y＝a有一个公共点，则a的取值范围是________．

答案：{a|a≥1，或a＝0}

7．若对任意x∈R，函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的值域为[0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．

答案：[－1,0]　

解析：依题意，2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.

8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－的解集是________．

答案：{x|x＜－1}　

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0.

当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1，

当x＞0时，由1－2－x＜－，得x＞，解得x∈∅；

当x＝0时，f(0)＝0＜－不成立；

当x＜0时，由2x－1＜－，

得2x＜2－1，解得x＜－1.

综上可知，不等式的解集为{x|x＜－1}．

9．函数f(x)＝x2－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(bx)与f(cx)的大小．

解：∵f(1＋x)＝f(1－x)，

∴f(x)＝x2－bx＋c的对称轴为x＝1，即＝1，

解得b＝2.

又f(0)＝3，∴c＝3.

∴f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．

若x≥0，则3x≥2x≥1，

而f(x)＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上为增函数，

∴f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)．

若x＜0，则0＜3x＜2x＜1，

而f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，

∴f(3x)＞f(2x)，即f(cx)＞f(bx)，

综上所述，f(cx)≥f(bx)．

10．设a＞0，且a≠1，如果关于x的函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．

解：(1)当a∈(0,1)时，令t＝ax，因为x∈[－1，1]，所以t∈[a，a－1]，原函数变为y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，t∈[a，a－1]，所以在t＝a－1处取得最大值．令a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝.

(2)当a∈(1，＋∞)时，令t＝ax，因为x∈[－1，1]，所以t∈[a－1，a]，y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，t∈[a－1，a]，所以在t＝a处取得最大值，令a2＋2a－1＝14，解得a＝3.

综上，a的值为或3.

11．设a>0，f(x)＝＋在R上满足f(－x)＝f(x)．

(1)求a的值；

(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(1)解：依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，

即＋＝＋a×2x.

所以＝0对一切x∈R成立．

由此可得a－＝0，即a2＝1.

又因为a>0，所以a＝1.

(2)证明：由(1)知f(x)＝2x＋.设任意的x1，x2，且0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－2x2＋－

＝(2x2－2x1)

＝2x1(2x2－x1－1)·.

由x1>0，x2>0，x2－x1>0，得

x1＋x2>0,2 x2－x1－1>0,1－2 x2＋x1<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

12．已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域和值域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

(3)讨论f(x)的单调性．

解：(1)由题意得f(x)的定义域为{x|x∈R}．

设y＝，解得ax＝－.①

∵ax＞0，∴－＞0，

解得－1＜y＜1.

∴f(x)的值域为{y|－1＜y＜1}．

(2)∵f(－x)＝＝＝－f(x)，且定义域为R，

∴f(x)是奇函数．

(3)设x1，x2∈R，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝.

①当a>1时，由于ax为增函数，∴ax1<ax2，

从而f(x1)<f(x2)，因此f(x)在R上为增函数；

②当0<a<1时，由于ax为减函数，∴ax1>ax2，从而f(x1)>f(x2)，因此f(x)在R上为减函数．