2021-2022学年河南省新乡十一中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年河南省新乡十一中高一（下）第一次月考数学试卷

1.  已知复数z满足，则复数z的虚部是(    )

A.  B.  C. 1 D. 2

2.  在中，若，，，则角A的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

3.  平面向量与的夹角为，，，则(    )

A.  B.  C. 4 D. 12

4.  平面内不共线的三个向量，，两两所成的角相等，且，，则(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5.  已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为(    )

A. 2 B. 1 C.  D.

6.  设，则在复平面内，复数z对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7.  若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为.(    )

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

8.  已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

9.  气象台A正南方向400km的一台风中心，正向北偏东方向移动，移动速度为，距台风中心250km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是(    )

A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h

10.  直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M、N在过点P的直线上，若，，，则下列结论错误的是(    )

A. 为常数 B. 的最小值为
C. 的最小值为3 D. m、n的值可以为：，

11.  已知，均为单位向量，其夹角为，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

12.  刘徽约公元225年年，魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形，当n变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到的近似值为(    )

A.  B.  C.  D.

13.  海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：，；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦一秦九韶公式．现在有周长为的满足：：：3：，则用以上给出的公式求得的面积为______.

14.  已知向量，，则向量在向量上的投影向量为________用坐标表示

15.  在中，若面积，则______.

16.  若复数是虚数单位是关于x的方程的一个根，则______.

17.  已知复数，其中，i为虚数单位．
若z为纯虚数，求m的值；
定义，是否存在m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由．

18.  已知复数z满足，的虚部为2，z在复平面上所对应的点A在第一象限．
求z；
若，在复平面上的对应点分别为B，C，求

19.  在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，
求角B的大小；
若，求的面积．

20.  已知向量，
若，试研究函数在区间上的单调性；
若，且，试求实数m的值．

21.  已知点，，O为坐标原点，函数
求函数的最小值及此时x的值；
若A为的内角，，，求的周长的最大值．

22.  在中，、、的对边分别为a、b、c，其中边c最长，并且
求证：是直角三角形；
当时，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：，
，
复数z的虚部是
故选：
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题给出三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角大小．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．
根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值．
【解答】
解：在中，若，，，
由正弦定理，得
化简得，

，可得或，
故选：  

3.【答案】B 

【解析】解：由已知，
，

故选：
根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．
本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
 

4.【答案】A 

【解析】解：平面内不共线的向量，，两两所成的角相等；
，，两两所成的角为，且，；
；

故选：
根据条件可得，，两两所成的角为，再由，即可得出，从而得出结论．
本题考查求平面向量的模，解题的关键是理解模的定义及向量数量积的运算律，本题的难点是用平方法求和与差的向量的模，平方法是求向量的模的常用方法．
 

5.【答案】D 

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
可知，，，
则BC的方程为：，设，
所以，
当时，数量积取得最小值：
故选：
通过建系，求出相关点的坐标，利用向量的数量积，推出表达式，然后求解最小值即可．
本题考查向量的数量积的求法，二次函数的最值的求法，是中档题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：，
，
，
复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限，
故选：
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的形状的判断，涉及到平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
设边AB的中点为D，则，再由已知关系式化简可得，由此即可判断三角形的形状．

【解答】

解：设边AB的中点为D，则，
由可得：，
则，即，又D为AB的中点，所以，即三角形ABC为等腰三角形.
故选：

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，也考查了边角关系和三角形内角和定理，是中档题．
A，根据正弦定理判断没有解；
B，根据正弦定理与大角对大边判断只有一解；
C，利用正弦定理与大边对大角，得出有两解；
D，根据三角形内角和定理判断不可能有两解．

【解答】

解：对于A，，，，由正弦定理得，，所以没有解；
对于B，，，，由正弦定理得，，且，所以B唯一确定，只有一解；
对于C，，，，由正弦定理得，，且，，所以B的值有2个，有两解；
对于D，，，，由三角形内角和定理知，不可能有两解．
故选：

9.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理的应用，属中档题．
建立函数模型，利用余弦定理求解即可．

【解答】

解：如图所示，设台风中心为 O ，，t小时后到达点B处，即，                                                                                  
当时，气象台所在地受到台风影响，
由余弦定理可知：

，
，，
即，
解得，
所以气象台所在地受台风影响持续时间大约是
故选

10.【答案】B 

【解析】解：如下图所示：

由，可得，，
若，
则，
，
、P、N三点共线，
，，故A正确；
所以时，也满足，则D选项正确；
，
当且仅当时，等号成立，C选项成立；
，
当且仅当时，即时等号成立，故B选项错误．
故选：
作出图形，由可得出，根据三点共线的结论得出，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论．
本题考查了平面向量的基本定理和基本不等式的应用，属于中档题．
 

11.【答案】B 

【解析】解：，均为单位向量，其夹角为，，
，可得，
又由，则有
“”是“”必要不充分条件，
故选：
求出的充要条件，再结合集合的包含关系求出答案即可．
本题考查了充分必要条件，考查向量以及集合的包含关系，是基础题．
 

12.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查角的正弦值的近似值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
将一个单位圆分成360个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为，由这360个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出的近似值．

【解答】

解：将一个单位圆分成360个扇形，
则每个扇形的圆心角度数均为，
这360个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
，

故答案选：

13.【答案】 

【解析】解：由正弦定理得a：b：：：：3：，
设，，
则，
所以，，，，
故
故答案为：
由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合已知三角形周长可求a，b，c，然后代入已知三角形面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的计算，注意投影向量的定义，属于中等题．
根据题意，由、的坐标可得和的值，进而计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，向量，，则，，
故向量在向量上的投影数量为，
向量在向量上的投影向量为
故答案为：

15.【答案】 

【解析】解：在中，若面积，
所以，
整理得，
所以，
由于，
故
故答案为：
直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

16.【答案】3 

【解析】解：复数是虚数单位是关于x的方程的一个根，
也是关于x的方程的一个根，
，解得，

故答案为：
由已知条件可得，也是关于x的方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查共轭复数的概念，以及韦达定理，属于基础题．
 

17.【答案】解：为纯虚数，，，

假设存在m，使得，
则，所以，
令，x，，则，
则，，解得，
，解得，
因此存在，使得 

【解析】利用纯虚数的定义列方程，即可得出
设存在m，使得，化为，令，x，，可得，必须满足，，解得x，y，进而得出结论．
本题考查了纯虚数、复数的运算、行列式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：设，
则，
，
，
在复平面上所对应的点A在第一象限，
，，
，

，，
，，，
，，
 

【解析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于中档题．
 

19.【答案】解：由正弦定理知：，
则，
所以，
则，且，可得或，
因为，所以，
所以；
由题设，，则，又，
所以，整理得，解得，满足题设，
由，
所以，当时，；
当时， 

【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于基础题．
根据正弦定理的边角关系，及已知条件可得的值，再根据三角形内角性质求B的大小；
由及余弦定理求c，再根据三角形面积公式求面积即可．
 

20.【答案】解：时，




，
，
，
，即时，是增函数；即时，是减函数；
，
，
，
又，
，
解得 

【解析】时，进行数量积的坐标运算，并根据两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式即可得出，根据x的范围可求出的范围，根据正弦函数、一次函数和复合函数的单调性即可判断的单调性；
根据即可得出，，然后根据即可得出，根据两角和差的正弦函数，进行化简即可得出关于m的方程，解出m即可．
本题考查了两角和差的正弦函数，二倍角的正余弦公式，弦化切公式，，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：，
，
当时，取得最小值
，，
又，，
，
，
，当且仅当取等号，
三角形周长最大值为 

【解析】利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．
利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．
本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．
 

22.【答案】解：证明：在中，，又；
，
边最长，
，B均为锐角，
，，即，
是直角三角形．
在中，，，
当且仅当时取等号，
当且仅当时取等号，
面积，即的面积的最大值为 

【解析】先根据以及得到，又边c最长，继而证得结论成立；
由，，再利用基本不等式可求得当且仅当时取等号，从而可求得面积的最大值．
本题主要考查三角形的形状判断及基本不等式、三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．