2021-2022学年山东省烟台市招远二中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含答案解析）

2021-2022学年山东省烟台市招远二中高一（下）月考数学试卷（4月份）

1.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  是A，B，C，D四点构成梯形的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  已知向量，为单位向量，若，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，D在BC上，，E为AD的中点，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数，则(    )

A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减

8.  定义平面两个向量的一种运算：，，则下列说法正确的是(    )

A.
B.
C.
D. 若，，则

9.  对于非零向量，，下列命题正确的有(    )

A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，则在上的投影向量为是与方向相同的单位向量

10.  已知，则(    )

A. ， B.
C.  D.

11.  在平行四边形ABCD中，若，，则(    )

A.
B.
C.
D. 若，

12.  已知Q为坐标原点，点，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

13.  已知，则______.

14.  已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则P点坐标为______.

15.  已知，，且，，则______.

16.  骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆前轮，圆后轮的直径均为1，，，均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为______.

17.  若函数的最小值为，求实数a的值．

18.  已知向量与的夹角为，，
求；
若向量与平行，求实数的值；
若向量与夹角为钝角，求实数的取值范围．

19.  已知函数
求的最小正周期和单调递增区间；
求在区间上的最大值和最小值．

20.  如图所示，ABC中，F为BC边上一点，，设，
用向量，表示；
已知，连接DF并延长，交AC于点E，若，，求和的值．

21.  已知平面向量，，函数
求函数的最小正周期和对称轴；
将函数的图象向左平移个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图像，若函数经过点，，求的值．

22.  如图，A，B是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点
求结果用表示；
若
①求的取值范围；
②设，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
利用诱导公式，二倍角的余弦公式化简即可求解．

【解答】

解：因为，
则

故选：

2.【答案】D 

【解析】解：若，当A、B、C、D四点共线时，A，B，C，D四点不能构成梯形，
所以“”推不出“A，B，C，D四点构成梯形”，
若A，B，C，D四点构成梯形，则未必有，
所以“A，B，C，D四点构成梯形”推不出“”，
所以是A，B，C，D四点构成梯形的既不充分也不必要条件．
故选：
根据充要条件的定义，即可判断正确答案．
本题主要考查了平面向量及应用，充要条件的定义，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：设与的夹角为，，
，
，
向量，为单位向量，
，，
，解得，

故选：
将两边同时平方，再结合向量模公式，以及向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查向量模公式，以及向量的数量积公式，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：


，
故选：
利用及三角恒等变换公式化简即可．
本题考查了三角恒等变换的应用，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：，
，
E为AD的中点，
，
又，，，
则，
故选：
由题意可得，，根据平面向量的线性运算即可求解．
本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由，知，
所以，
所以
故选：
结合两角和的正切公式与诱导公式，可得的值，再由二倍角公式，得解．
本题考查三角函数求值，熟练掌握两角和的正切公式，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：



；
故的最小正周期为，
故选项A错误；
的最大值为，
故选项B错误；
，
的图象关于直线对称，
故选项C正确；
在区间上单调递减，在上单调递增；
故选项D错误；
故选：
化简；从而对四个选项依次判断即可．
本题考查了三角恒等变换及三角函数性质的应用，属于中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：，
时，，
时，，成立，
时，
，
综上，A不恒成立；
B.是一个实数，无意义，B不成立；
C.若，则，
，
，
，
，C错误；
D.若，则，
，
，
所以，成立．
故选：
A.按的正负分类讨论可得，由新定义的意义判断，可举反例说明进行判断，与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
本小题主要考查新定义平面向量的运算，考查平面向量数量积运算，考查平面向量数量积的坐标运算，考查分析与思考问题的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的共线、垂直、以及投影向量的计算，属于基础题．
根据平面向量垂直、共线、以及投影向量的概念逐项判断即可．

【解答】

解：
由题知非零向量，，
对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，，因为，故与平行，故B正确；
对于C，若，则，，故C正确；
对于D，若，则在上的投影向量为是与方向相同的单位向量，故D错误．
故选：

10.【答案】AD 

【解析】解：，，
，
，或舍去，
，，即，，
，，，故，
故选：
由题意，利用诱导公式、二倍角的正弦公式，可得，，从而得出结论．
本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式，属于中档题．
 

11.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假判断，考查向量的线性运算，向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
利用向量的线性运算，向量数量积的运算性质条件逐项判断即得．

【解答】

解：在平行四边形ABCD中，，，
，F分别为AB，AD的中点，，故A正确；

，故B错误；
，故C正确；
若，则，
，，
，

，故D正确．
故选：

12.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查向量的模，涉及到利用同角三角函数基本关系化简和逆用两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属于中档题．
利用向量的坐标公式，结合同角三角函数的平方关系及三角恒等变换求各选项线段对应向量的模长，判断是否相等即可．

【解答】

解：
对于选项，
则，故A正确；
对于选项，
则，
，
所以、不一定相等，故B错误；
对于选项，则
，
，
所以、不一定相等，故C错误；
对于选项D：，
，
所以，故D正确；
故选：

13.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
故答案为：
由题意，利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式
本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，
，，点P在线段AB的延长线上，且，
，，
，解得，，
故P点的坐标为
故答案为：
根据已知条件，先求出，再结合向量的坐标运算，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，知，
又，所以，且，所以，
又，所以，
因为，所以，
所以
故答案为：
先求得的值，并进一步确定，再得，以及的值，然后根据，利用两角和的正弦公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
则，，
则，
又，
则，
即的最大值为，
故答案为：
先建系，然后标出对应点的坐标，再结合平面向量数量积的坐标运算及三角函数最值的求法求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了三角函数最值的求法，属基础题．
 

17.【答案】解：，
令，则，
当时，函数y在上单调递增，
时，，舍；
当时，函数y在上单调递减，
时，，舍；
当，即时，，
，，或舍，
综上， 

【解析】利用换元法，通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，再利用分类讨论得最小值，进一步可求
本题主要考查函数余弦函数的图象和性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：已知向量与的夹角为，，，
则；
已知向量与平行，
则可设，
则，
又与不共线，
则，
即，
则实数的值为；
向量与夹角为钝角，
则，
即，
则，
又当时，向量与反向共线，
即向量与夹角为钝角时，实数的取值范围为 

【解析】由平面向量数量积运算求向量模即可；
由向量与平行，则可设，然后由平面向量基本定理求解即可；
由向量与夹角为钝角，则，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角及共线向量，属基础题．
 

19.【答案】解：
，
，
要求原函数的单调递增区间，只需，，
解得，，即单调递增区间为，
由知，
由得，故，
即，
故原函数的最小值为1，最大值为 

【解析】先将原函数式利用降幂公式和辅助角公式化为的形式，然后再结合正弦函数的性质求解．
本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，
所以，即，
所以；
解：若，则，
所以，又，
，
由于，
所以，
解得 

【解析】由得，进而得答案；
由题知，进而得，再结合得以，即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意，平面向量，，
可得函数
，
所以最小正周期，
令，，解得，，
即函数的对称轴的方程为，，
由知，
将函数的图象向左平移个单位，可得，
再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数，
又函数经过点，，，
又，，，
 

【解析】根据题意，化简得到，进而求得函数的最小正周期和对称轴；
由知，根据三角函数的图像变换求得，进而得到，可得，利用，结合两角差的正弦公式即可求解．
本题考查两角和与差的正弦函数，考查函数的图象变换，向量的数量积的计算，以及图像的变换，属于中档题．
 

22.【答案】解：如图以O为原点以OA为x轴正半轴建立直角坐标系系，则，，
；
由题知，
①设，，则
，
当，即，
此时；
②因为，设所以，
在中由正弦定理得
，其中，


令，
所以，
因为，
所以 

【解析】以O为原点，以OA为x轴正半轴建系，则利用坐标法易得；
①可设点C的坐标，利用数量积及三角函数的知识即可求出；②设，通过正弦定理及三角形面积公式表示出，再利用整体代换，对勾函数的性质求出的取值范围，即为函数的值域．
本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．