浙教版初中数学九年级下册第二单元《直线与圆的位置关系》（标准困难）（含答案解析） 试卷

浙教版初中数学九年级下册第二单元《直线与圆的位置关系》（标准困难）（含答案解析）

考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，在平行四边形中，，，以顶点为圆心，为半径作圆，则边所在直线与的位置关系是(    )

A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 以上三种都有可能

2.  如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知半径为的上一点和外一点，如果，，则与的位置关系是(    )

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 位置不定

4.  如图，中，，，，以点为圆心的圆与相切，则的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点给出下列四种说法：
四边形有外接圆是外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，与正方形的两边，都相切，且与相切于点，若正方形的边长为，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在矩形 中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知于，，，，下列选项中，的半径为的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积之和为(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在中，点为的内心，，，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如图所示，在中，，，，若以点为圆心，为半径的圆与边所在直线有公共点，则的取值范围为______．
 

14.  如图，，分别与相切于点，，若，为上一点，则的度数为          ．

15.  如图，、是的切线，、是切点，已知，，那么的长为______．

16.  如图，若点是的内心，，则          ．
 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知的半径为，点到直线的距离为，如图所示．
 

怎样平移直线，才能使与相切

要使直线与相交，应把直线向上平移多少

18.  本小题分
如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的半径．

19.  本小题分

已知四边形是平行四边形，以为直径的经过点．

如图，若，求证：与相切；

如图，若，，交边于点，交边延长线于点，求，的长．

20.  本小题分

如图，，，分别与相切于，，三点，且延长交的延长线于点，连接，若，求的值．

21.  本小题分

如图，在中，，，点在以为直径的上，且为的切线．求的值．

22.  本小题分

如图，在中，，以上的点为圆心，的长为半径的圆与交于点，与切于点．

求证：；

求证：；

设，，求直径的长．

23.  本小题分

如图，是的直径，点在上，点是的内心，的延长线交于点．

求证：；

若，，求的长．

24.  本小题分

如图，是的直径，点为半圆上的一点不与，重合，点是的内心，的延长线交于点．

求的值；

过点作于点，求的值．

25.  本小题分

如图，是的外接圆，点是的内心，的延长线交于点．

如图，连接，，求证：是的外心；

如图，若，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图，作交的延长线于．
，
，
，
直线与相交，
故选：．
如图，作交的延长线于求出的值即可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
  本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
   连接、，先利用切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数．
【解答】
解：连接、，
、分别与相切于、两点，
，，
，
，
．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系当点、、三点不在同一直线上时，满足勾股定理的逆定理判断即可；当点、、三点在同一直线上时，不满足，故舍去，从而得到答案．
【解答】
解：当点、、三点不在同一直线上时，如图，

在中，，，，
，
是直角三角形，
，
即，
与的位置关系是相切；
当点、、三点在同一直线上时，如图，

，，
，
故此种情况不符合题意，舍去；
故选B．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
    此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用，设切点为，连接，由是的切线，即可得，又由在直角中，，，，根据勾股定理求得的长，然后由三角形的面积公式，即可求得以为圆心与相切的圆的半径的长．

【解答】

解：在中，，，，
，
，
设切点为，连结，

是的切线，
，

，

，

即，
 的半径为．

5.【答案】 

【解析】解：  ，是的两条切线，，为切点，
，故正确 
，，
垂直平分，故正确
，是 的两条切线，，为切点，
，，
 ，
点、在以为直径的圆上，
四边形有外接圆，故正确
只有当时，点到各顶点的距离相等， 
不一定为外接圆的圆心，故错误．
故选 C．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．设与、相切于点、连接、，则四边形是正方形．根据切线长定理，可得，，然后根据勾股定理可得答案．
【解答】
解：设与、相切于点、连接、，则四边形是正方形．

、是的切线，

，

，

，

在中，．

故选B．

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，，

在矩形中，
，，，，分别与相切于，，三点，
，，
四边形和四边形是正方形，
，
，
是的切线，是的切线，是的切线，
，，
，，
在中，，
，
，
．
故选：．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键连接、，根据、分别切圆于、，得到，证出正方形，设圆的半径是，证∽，得出，代入即可求出；设圆的半径是，圆切于，切于，且于，同样得到正方形，根据，求出即可；设圆切于，圆的半径是，连接，则∽得出，代入求出即可
【解答】
解：设圆的半径是，圆切于，切于，切于，如图同样得到正方形，，，则，求出，故本选项错误；
B.设圆切于，圆的半径是，连接，如图，
 

则∽，，
，解得：，故本选项错误；
C.连接、，

、分别切圆于、，
，
，
四边形是正方形，
，
设圆的半径是，
，，
，
∽，
，，
解得：，故本选项正确；
D.从上至下三个切点依次为，，；并设圆的半径为；
连接、、，

容易知道，所以；
又；所以，故本选项错误．
故选C．

9.【答案】 

【解析】解：如图，

是等边三角形，
的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为，
设，，，
，故A正确；
，
，
在中，
，故B正确；
，
，
，
，，
，，故C错误，D正确；
故选：．
根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为，根据角所对的直角边是斜边的一半得：；等边三角形的高是与的和，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了等边三角形及它的内切圆和外接圆的关系，等边三角形的内心与外心重合，是三条角平分线的交点；由等腰三角形三线合一的特殊性得出角和，利用直角三角形的性质或三角函数得出、、的关系．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的内切圆与内心、扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
根据勾股定理求出，求出的内切圆的半径，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】
解：设与的三边、、的切点分别为、、，连接、、，

在中，，
的内切圆的半径，
是的内切圆，
，，

，
则图中阴影部分的面积之和，
故选B．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内心定义，勾股定理，三角形的内角和定理以及含角的直角三角形的性质以及三角形的面积，熟练掌握三角形的内心定义，勾股定理，三角形的内角和定理以及含角的直角三角形的性质是解题的关键．
根据为的内心得到，进而得出、和的度数，再根据含角的直角三角形的性质得出，在直角三角形中，根据勾股定理得出的长，最后根据三角形的面积公式得出结果．
【解答】
 解：过点作的延长线于点．

点为的内心，，
，
，
，
．
，
，
在中，，
，
，
的面积，
故选B．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，连接，，求出的度数即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接，．

是的内切圆，，是切点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：如图，作于．

在中，，，，
，
，
，
以点为圆心，为半径的圆与边所在直线有公共点，
，
故答案为．
如图，作于利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可判断．
本题考查直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、，作 所对的圆周角，如图，
、分别与相切于、，
，，
，
，
 

，
，
．
故答案为： 
本题了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
连接、，作

所对的圆周角，如图，根据切线的性质得到，则利用四边形的内角和计算出，再根据圆周角定理得到，然后利用圆内接四边形的性质计算的度数．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了切线长定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
首先过点作于点，由垂径定理可得：，又由、是的切线，由切线长定理可得，由，即可得是等边三角形，继而可求得，则可求得的长，继而求得答案．
【解答】
解：过点作于点，
，
、是的切线，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形内切圆与内心，角平分线的概念，三角形的内角和定理，解答本题的关键是理解三角形内心的定义；首先根据三角形内心的概念得出平分，平分，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行解答，即可求解．
【解答】
解：是的内心，
平分，平分，
，，，
，
．
故答案为：．  

17.【答案】解：当时直线和圆相切，
又，
需要平移或．
所以要把直线向上平移或，才能使与相切
的半径为，要使直线与相交，
圆心到直线的距离小于圆的半径，
应把直线向上平移范围应该是． 

【解析】此题考查了直线和圆的位置关系，注意直线和圆相切有两种情况：圆可能在直线的上方相切，也可能在直线的下方相切．
根据直线和圆相切，则只需满足，又此时，则需要平移或即可．
根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得．
 

18.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
，
，
令，则
，
的半径为． 

【解析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，根据切线的性质得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据角直角三角形的性质即可得到结论．
 

19.【答案】证明：连接，

，，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
解：如图，连接，，，

是直径，
．
，
，
，
是直径，
，，
，，
，
在和中，，，
，
设 ，则，
．
解得，
，
即． 

【解析】如图中，连接，欲证明是切线，只要证明即可．
如图中，连接，，，首先证明是直径，再根据，设，则，列出方程即可解决．
本题考查切线的性质、平行四边形的性质、圆的有关性质、勾股定理等知识，学会转化的思想，把问题转化为方程解决，添加辅助线是解题的关键，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：
，为圆的切线，点，为切点，
，
，
，
，
∽，
，
连接，则．

设，，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
． 

【解析】见答案
 

21.【答案】解：连接，，，与相交于点，

由切线长定理得，，
，
，
，
，
又，
，
，，即，
，，
∽，
，
，
，
在中， 

【解析】见答案
 

22.【答案】证明：，

．

是的半径，

为的切线．

又切于点，

．

证明：是的直径，

．

．

又，

．

由得，

．

．

解：由得，，，

∽．

，
．

．

的直径长为．

【解析】本题主要考查切线的判定，切线长定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关知识点是解题的关键．
由切线长定理，只需证明为的切线，再由已知的与切于点，即可得出证明；
根据已知及等角的余角相等不难即可得出结论．
先证明∽，进而可得，代入数据计算得，即直径的长为
 

23.【答案】证明：连接，如图所示：
 

点为的内心，为圆的直径，
，，，
，
，
是的外角，
，，
又，，
，
．
连接，过点作于点，于点，于点，则四边形是正方形．

，
．
，
．
设，则，，
，
在中，，
或，
或，
，
．

【解析】见答案．
 

24.【答案】解：
解：如图，连接．

点是半圆的中点，
．
又，

连接、．
点是半圆的中点，
，
．
设，则，
．

．

解：
，，
，

，

 

【解析】见答案．
 

25.【答案】连接，，
点是的内心，
，，
，
，同理可证，
，
是的外心；

是内心，
，连接交于点，则，
，
，
，过点作于点，
，，
≌，
，
又，
，
．

【解析】见答案．