高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列课后复习题

课时跟踪检测 （五）  等差数列的前n项和

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于(　　)

A．2  B.3

C．6  D.7

解析：选B　由已知得解得d＝3.

2．数列{an}为等差数列，满足a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10，则数列{an}的前21项和等于(　　)

A.  B.21

C．42  D.84

解析：选B　根据等差数列的求和公式，可知a2＋a4＋a6＋…＋a20＝＝10，即a2＋a20＝2，又根据等差数列的性质知，a1＋a21＝a2＋a20，所以数列{an}的前21项和为S21＝＝21，故选B.

3．已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为(　　)

A．24  B.26

C．25  D.28

解析：选B　设该等差数列为{an}，由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67.

又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，

∴4(a1＋an)＝21＋67＝88，∴a1＋an＝22.

∴Sn＝＝11n＝286，∴n＝26.

4．(2020·云南玉溪第一中学月考)数列{an}的首项a1＝1，对于任意m，n∈N*，有an＋m＝an＋3m，则{an}的前5项和S5＝(　　)

A．121  B.25

C．31  D.35

解析：选D　令m＝1，有an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3，又已知a1＝1，∴{an}是首项为1，公差为3的等差数列，

∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2，

∴S5＝＝5a3＝5×(3×3－2)＝35.

5．已知Sn是公差d不为零的等差数列{an}的前n项和，且S3＝S8，S7＝Sk(k≠7)，则k的值为(　　)

A．3  B.4

C．5  D.6

解析：选B　由S3＝S8可知3a1＋3d＝8a1＋28d，

即a1＝－5d.由S7＝Sk得7a1＋d＝ka1＋d，将a1＝－5d代入化简得k2－11k＋28＝0，解得k＝4或k＝7(舍去)，故选B.

6．(2020·福州一中高二月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝22，S5＝100，则S10＝________.

解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，

则解得

所以S10＝10×8＋×10×9×6＝350.

法二：设Sn＝An2＋Bn，则解得所以S10＝3×102＋5×10＝350.

答案：350

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.

解析：设等差数列{an}的公差为d，

∵a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，

∴

解得∴an＝2n－1.

答案：2n－1

8．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5S6＋15＝0.若S5＝5，则Sn＝________.

解析：由题意知S6＝－3，∴a6＝S6－S5＝－8，

∴解得

∴Sn＝7n＋×(－3)＝－n2＋n.

答案：－n2＋n

9．已知等差数列中，a1＝1，a3＝－3.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前k项和Sk＝－35，求k的值．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.

从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.

(2)由(1)可知an＝3－2n，

所以Sn＝＝2n－n2.

进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，

即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.

又k∈N*，故k＝7为所求结果．

10．已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

(1)求d及Sn；

(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，

将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.

因为d＞0，所以d＝2.

从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．

(2)由(1)得，am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.

由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1＞1，

故解得

即所求m的值为5，k的值为4.

1．(2020·厦门外国语学校月考)已知公差不为0的等差数列{an}满足a＝a1·a4，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为(　　)

A．－2  B.－3

C．2  D.3

解析：选C　∵公差d≠0的等差数列{an}满足a＝a1·a4，

∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，即a1＝－4d，

则＝＝＝＝2.

2．(2020·广东六校联考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝(　　)

A．6  B.7

C．8  D.10

解析：选D　∵数列{an}为等差数列，

S5＝2S4，a2＋a4＝8，

∴

整理得解得

∴a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.

3．已知等差数列{an}中，a5＋a9＝14，S9＝90，则a12的值是(　　)

A．15  B.－

C．－  D.

解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由已知得，a5＋a9＝2a7＝14，故a7＝7，又S9＝＝9a5＝90，故a5＝10，则a7－a5＝－3＝2d，即d＝－，故a12＝a5＋7d＝10－＝－.

4．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.

(1)求b1，b11，b101；

(2)求数列{bn}的前1 000项和．

解：(1)设{an}的公差为d，

由已知得7＋21d＝28，解得d＝1.

所以{an}的通项公式为an＝n.

b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.

(2)因为bn＝

所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.

5．等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Tn为数列{bn}的前n项和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．

解：(1)∵等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，

∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，

∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5，

解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，

∴解得a1＝5，d＝－3.

∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.

(2)由(1)知{an}的前n项和Sn＝5n＋×(－3)＝－n2＋n.

∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，

当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8.

当n<3时，T1＝5，T2＝7；

当n≥3时，Tn＝－Sn＋2S2＝－＋14.

∵Tn≥1 464，∴Tn＝－＋14≥1 464，

即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥，

∴n的最小值为34.