选择性必修 第二册4.3 等比数列随堂练习题

课时跟踪检测 （八）  等比数列的性质

1．在等比数列{an}中，已知a1aa15＝243，则的值为(　　)

A．3  B.9

C．27  D.81

解析：选B　设数列{an}的公比为q，

∵a1aa15＝243，a1a15＝a，∴a8＝3，

∴＝＝a＝9.

2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)

A．100  B.－100

C．10 000  D.－10 000

解析：选C　∵a3a8a13＝a，

∴lg(a3a8a13)＝lg a＝3lg a8＝6.

∴a8＝100.∴a1a15＝a＝10 000，故选C.

3．若1，a1，a2,4成等差数列,1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值等于(　　)

A．－  B.

C．±  D.

解析：选A　∵1，a1，a2,4成等差数列，

∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.

又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，

则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2＞0，∴b2＝2，

∴＝＝－.

4．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低，则2003年价格为8 100元的计算机到2018年时的价格应为(　　)

A．900元  B.2 200元

C．2 400元  D.3 600元

解析：选C　8 100×3＝2 400.故选C.

5．已知数列{an}是等比数列，对任意n∈N*，都有an＞0.若a3(a3＋a5)＋a4(a4＋a6)＝25，则a3＋a5＝(　　)

A．5  B.10

C．15  D.20

解析：选A　由等比数列的性质及a3(a3＋a5)＋a4(a4＋a6)＝25，

得a3(a3＋a5)＋a4(a3q＋a5q)＝25.

∴(a3＋a5)(a3＋a4q)＝25，

∴(a3＋a5)2＝25.

∵对任意n∈N*，都有an＞0，

∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.

6．若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝________.

解析：∵{an}是等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，a9＋a10为等比数列，∴a9＋a10＝1×44＝256.

答案：256

7．在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6成等比数列，则此未知数是________．

解析：设此三数为3，a，b，则

解得或所以这个未知数为3或27.

答案：3或27

8．在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________．

解析：∵＝，∴x＝1.

∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.同理，第二行后两格中数字分别为，3.∴y＝5·3，z＝6·4.

∴x＋y＋z＝1＋5·3＋6·4＝＝2.

答案：2

9．有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．

解：法一：按等比数列设元

设前三个数为，a，aq，

则·a·aq＝216，

所以a3＝216.所以a＝6.

因此前三个数为，6,6q.

由题意知第4个数为12q－6.

所以6＋6q＋12q－6＝12，

解得q＝.

故所求的四个数为9,6,4,2.

法二：按等差数列设元

设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为(4－d)2，由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.

10．为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2019年年底，将当地沙漠绿化了40%.从2020年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%? (参考数据：lg 2≈0.3)

解：设该地区沙漠与绿洲的总面积为1,2019年年底绿洲面积为a1＝，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2019年年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分，即an－8%·an；另一部分是新绿化的绿洲面积，即12%·bn.

∴an＋1＝an－8%·an＋12%(1－an)＝an＋，

即an＋1－＝.

又a1－＝－，

∴是以－为首项，为公比的等比数列，

则an＋1＝－×n.

由an＋1＞50%，得－×n＞，

∴n＜，∴n＞log＝≈3.

则当n≥4时，不等式n＜恒成立．

∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.

1．已知{an}为等比数列，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)

A．－  B.－

C.  D.－或

解析：选D　由a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，可得a2＋a16＝－6，a2a16＝2，显然两根同为负值，所以a9＝± ＝±，所以＝±.

2．[多选]已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能值是(　　)

A.  B.

C．2  D.

解析：选AD　由题意可设三角形的三边分别为，a，aq.因为三角形的两边之和大于第三边，所以①当q＞1时，＋a＞aq，即q2－q－1＜0，解得1＜q＜；②当0＜q＜1时，a＋aq＞，即q2＋q－1＞0，解得＜q＜1；③当q＝1时，三边也构成等比数列．所以q的一个可能值是或.故选A、D.

3．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝________.

解析：设等比数列的公比为q(q>0)．由a2－a1＝1，得

a1(q－1)＝1，q≠1，所以a1＝.

a3＝a1q2＝＝(q>0)，

而－＋＝－2＋≤，当且仅当q＝2时取等号，所以当q＝2时，a3有最小值4.此时a1＝＝＝1，

所以数列{an}的通项公式an＝2n－1.

答案：2n－1

4．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．

解：依题意a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，数列{abn}的公比q＝＝＝3，

所以abn＝a13n－1，          ①

又abn＝a1＋(bn－1)d＝a1，          ②

由①②得a1·3n－1＝·a1.

因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.

(1)求an与bn；

(2)设cn＝3bn－λ·，若数列{cn}是递增数列，求实数λ的取值范围．

解：(1)由已知可得整理得q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍)，从而a2＝6，

所以an＝3n，bn＝3n－1.

(2)由(1)知，cn＝3bn－λ·＝3n－λ·2n.

由题意知cn＋1＞cn对任意的n∈N*恒成立，即3n＋1－λ·2n＋1＞3n－λ·2n恒成立，即λ·2n＜2·3n恒成立，

即λ＜2·n恒成立．

因为函数y＝x是增函数，所以min＝2×＝3，故λ＜3，即实数λ的取值范围为(－∞，3)．