高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念当堂达标检测题

课时跟踪检测 （二）  数列的通项公式与递推公式

1．已知数列{an}满足an＞0，且an＋1＝an，则数列{an}是(　　)

A．递增数列  B.递减数列

C．常数列  D.摆动数列

解析：选B　因为＝＜1，an＞0，所以an＋1＜an，故数列{an}为递减数列．

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，则a3＝(　　)

A．－1  B.－2

C．－4  D.－8

解析：选D　∵数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，

∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故选D.

3．[多选]数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(　　)

A．an＋1＝an＋n，n∈N*

B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2

C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*

D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2

解析：选BC　由已知得，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，经检验，B、C正确．

4．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an，则a3等于(　　)

A．5  B.9

C．10  D.15

解析：选D　∵数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an，∴3＝(2－λ)×1，解得λ＝－1，即an＋1＝(2n＋1)·an，∴a3＝(2×2＋1)a2＝5×3＝15.故选D.

5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是(　　)

A．9  B.17

C．33  D.65

解析：选C　∵bn＝a，∴b2＝a＝a2＝3，b3＝a＝a3＝5，b4＝a＝a5＝9，b5＝a＝a9＝17，b6＝a＝a17＝33.

6．已知函数f(x)的部分对应值如下表所示．数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*，点(an，an＋1)都在函数f(x)的图象上，则a2 021的值为________.

解析：由题知，an＋1＝f(an)，a1＝1.∴a2＝f(1)＝3，a3＝f(a2)＝f(3)＝2，a4＝f(a3)＝f(2)＝1，…，依此类推，可得{an}是周期为3的周期数列，∴a2 021＝a673×3＋2＝a2＝3.

答案：3

7．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，则数列{an}的通项公式为________．

解析：由已知得a1＝1，且

①－②得，nan＝2n－1，所以an＝.

当n＝1时，此式也成立，

所以数列{an}的通项公式为an＝.

答案：an＝

8．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，若对任意n∈N*都有an≥a5，则实数b的取值范围是________．

解析：由题意得n＋≥5＋，所以n－5≥×b，即(n－5)(5n－b)≥0.当n＜5时，b≥5n，所以b≥20；当n＞5时，b≤5n，所以b≤30，因此实数b的取值范围是[20,30]．

答案：[20,30]

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式．

解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－1－＝n＋.

当n＝1时，a1＝S1＝≠1＋，

故数列{an}的通项公式为an＝

10．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．

(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；

(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．

解：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，a＝－7，

∴an＝1＋.结合函数f(x)＝1＋的单调性，

可知1＞a1＞a2＞a3＞a4；a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．

∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.

(2)an＝1＋＝1＋.

∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，

并结合函数f(x)＝1＋的单调性，

∴5＜＜6，

∴－10＜a＜－8，即a的取值范围为(－10，－8)．

1．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　)

A．(－∞，3]  B.(－∞，4]

C．(－∞，5)  D.(－∞，6)

解析：选D　依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ＜0，即λ＜2(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立，注意到当n∈N*时，2(2n＋1)的最小值是6.因此λ＜6.即λ的取值范围是(－∞，6)．

2．数列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，则an＝(　　)

A．2n－1  B.

C．2n－3  D.

解析：选B　由已知可推得，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，归纳可得an＝.

3．(2020·鞍山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n∈N*，n≥2)，则＝________；a2 020＝________.

解析：分别令n＝2,3可得a2＝1，a3＝.由题意得an－an－1＝an－1(n≥3)，即an＝an－1，所以＝.所以an＝××…×a3＝(n≥3)，所以a2 020＝＝1 010.

答案：　1 010

4．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.

(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；

(2)求n为何值时an最小．

解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6，

得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6，

∴bn＋1－bn＝2n－6，

当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6，

bn－1－bn－2＝2(n－2)－6，

…

b3－b2＝2×2－6，

b2－b1＝2×1－6，

累加得

bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)

＝n(n－1)－6n＋6

＝n2－7n＋6.

∴bn＝n2－7n－8(n≥2)，

当n＝1时，b1也适合此式，

故bn＝n2－7n－8.

(2)由bn＝(n－8)(n＋1)，得

an＋1－an＝(n－8)(n＋1)．

∴当n＜8时，an＋1＜an；

当n＝8时，a9＝a8；

当n＞8时，an＋1＞an.

∴当n＝8或n＝9时，an的值最小．

5．小张和小王两位同学课余时间玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”．有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有n(n≥3)个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)．把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为an，当n≥3时，试探究an和an＋1满足的关系式．

解：要将(n＋1)个圆盘全部转移到乙柱上，只需先将上面n个圆盘转移到丙柱上，最少需要an次转移，然后将最大的那个圆盘转移到乙柱上，需要一次转移，再将丙柱上的n个圆盘转移到乙柱上，最少需要an次转移，所以有an＋1＝2an＋1.