数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时作业

这是一份数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时作业，共5页。
课时跟踪检测 （十六）  函数的单调性1．[多选]下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)A．y＝sin x　　　　　 B．y＝xexC．y＝x3＋x  D．y＝ln x－x解析：选BC　对于B，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于C，y′＝3x2＋1＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝x3＋x在(0，＋∞)上为增函数．对于A、D都存在x>0，使y′<0的情况．2．函数f(x)＝ln x－x的单调递减区间为(　　)A．(－∞，0)，(1，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)解析：选C　由题可得f′(x)＝－1＝(x>0)，令f′(x)<0，即<0，解得x>1或x<0，又因为x>0，所以x>1.故选C.3．已知函数f(x)＝x3－mx2＋4x－3在区间[1,2]上是增函数，则实数m的取值范围为(　　)A．[4,5]  B．[2,4]C．(－∞，2]  D．(－∞，4]解析：选D　由题得f′(x)＝x2－mx＋4，要使函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，则f′(x)≥0在[1,2]上恒成立，即x2－mx＋4≥0在[1,2]上恒成立，即m≤＝x＋在[1,2]上恒成立，又x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立，所以m≤4.4.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)  解析：选C　当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，排除A、B.当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，排除D，故选C.5．[多选]若函数f(x)＝ax3－3x2＋x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的值可以是(　　)A．－2  B．0C．1  D．3解析：选AC　∵函数f(x)＝ax3－3x2＋x＋1，∴f′(x)＝3ax2－6x＋1.由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，∴3ax2－6x＋1＝0满足a≠0，且Δ＝36－12a>0，解得a<3，且a≠0，∴a∈(－∞，0)∪(0,3)．结合选项可知A、C符合题意，故选A、C.6．已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln 2x，则f(x)的单调递增区间为________．解析：因为f(x)＝x2－5x＋2ln 2x，x>0，所以f′(x)＝2x－5＋＝＝.由f′(x)>0可得(2x－1)(x－2)>0，所以x>2或0<x<，即f(x)的单调递增区间为，(2，＋∞)．答案：，(2，＋∞)7．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a的取值范围为________．解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.答案：(－∞，0)8．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．解析：∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，∴g(x)min＝－1，∴b≤－1.答案：(－∞，－1]9．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0，求f(x)的单调区间．解：f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对任意x∈R，都有f′(x)>0，即a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x>或x<－，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；由f′(x)<0，解得－<x<，所以f(x)的单调递减区间为(－，)．即a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－，)．10．已知a∈R，函数f(x)＝x3－6x2＋3(4－a)x.(1)若曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x－3y＝0垂直，求a的值；(2)若函数f(x)在区间(1,4)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝3x2－12x＋12－3a，所以曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线斜率k＝f′(3)＝27－36＋12－3a＝3－3a.而直线x－3y＝0的斜率为，则3－3a＝－3，得a＝2.(2)由f(x)在(1,4)上单调递减，得f′(x)＝3x2－12x＋12－3a≤0在(1,4)上恒成立，即a≥x2－4x＋4在(1,4)上恒成立，所以a≥(x2－4x＋4)max＝4，所以a的取值范围是[4，＋∞)． 1．已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有(　　)A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：选B　由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.2．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a＝(　　)A．1  B．2C．0  D．解析：选B　∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.3．已知函数f(x)＝，当1<x<3时，下列关系正确的是(　　)A．f()<f(x)<f2(x)B．f(x)<f()<f2(x)C．f2(x)<f()<f(x)D．f2(x)<f(x)<f()解析：选A　由题意得f′(x)＝，当1<x<3时，f′(x)>0，所以f(x)在(1,3)上单调递增．又1<<x<3，所以f()<f(x)．由f(x)在(1,3)上单调递增，可知当x∈(1,3)时，f(x)>f(1)＝e，所以f2(x)>f(x)．综上，f()<f(x)<f2(x)．4．已知函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，求实数a的取值范围．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)＝x2－9ln x，所以f′(x)＝x－＝.当0<x<3时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，又函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，所以解得1<a≤2，所以实数a的取值范围为(1,2]．5．若函数f(x)是定义域D内某个区间I上的增函数，且F(x)＝在I上是减函数，则称函数f(x)是I上的“单反减函数”．已知f(x)＝ln x，g(x)＝2x＋＋aln x(a∈R)．(1)判断函数f(x)在(0,1)上是否是“单反减函数”；(2)若函数g(x)是[1，＋∞)上的“单反减函数”，求实数a的取值范围．解：(1)函数f(x)＝ln x在(0,1)上是增函数．∵F(x)＝＝，∴F′(x)＝，∴当x∈(0,1)时，F′(x)>0，∴F(x)在(0,1)上为增函数，∴函数f(x)在(0,1)上不是“单反减函数”．(2)∵g(x)＝2x＋＋aln x，∴g′(x)＝.∵函数g(x)是[1，＋∞)上的“单反减函数”，∴g(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，令h(x)＝2x2＋ax－2，则h(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，∴h(1)≥0，解得a≥0.令G(x)＝，则G(x)＝2＋＋在[1，＋∞)上是减函数．又G′(x)＝－＋，∴G′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即－＋≤0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即ax－axln x－4≤0在x∈[1，＋∞)上恒成立．令P(x)＝ax－axln x－4，则P′(x)＝－aln x，∴解得0≤a≤4.综上所述，实数a的取值范围为[0,4]．