数学选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时课后练习题

第四章　4.3　4.3.1　第1课时

A级——基础过关练

1．等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝(　　)

A．　 B．－　

C．2　 D．－2

【答案】C　【解析】∵等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴解得q＝2．

2．(2020年保定期末)设递增等比数列{an}的公比为q，且a1＝3,3a1,2a2，a3成等差数列，则q＝(　　)

A．3　 B．1或3　

C．2　 D．2或3

【答案】A　【解析】由数列{an}为等比数列，且a1＝3,3a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝3a1＋a3，即12q＝9＋3q2，∴q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3．又数列{an}是递增等比数列，∴q＝3．

3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≠1　 B．a≠0或a≠1

C．a≠0　 D．a≠0且a≠1

【答案】D　【解析】∵等比数列的每一项都不能为零，∴依题意得a≠0且a≠1．

4．(2021年延边模拟)在公比为的等比数列{an}中，若sin(a1a4)＝，则cos(a2a5)的值是(　　)

A．－　 B．　

C．　　 D．

【答案】B　【解析】a1a4＝a1·a1q3＝aq3，a2a5＝a1q·a1q4＝aq5＝aq3·q2＝(a1a4)·()2＝2(a1a4)，所以cos(a2a5)＝1－2sin2(a1a4)＝1－2×2＝．

5．(2021年哈尔滨四模)在等比数列{an}中，a1＝1，a3－a2＝2，则a5＝(　　)

A．16　 B．－1

C．－16或－1　 D．16或1

【答案】D　【解析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若a1＝1，a3－a2＝2，则有q2－q＝2，解得q＝2或－1．若q＝2，则a5＝a1q4＝16；若q＝－1，则a5＝a1q4＝1．故a5＝16或1．

6．已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，a1＋a3＝5，则a5的值为________．

【答案】16　【解析】设等比数列的公比为q，由题意可得a1＋a3＝＋2q＝5，整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝．因为等比数列{an}为单调递增数列，则q>1，∴q＝2，因此a5＝a2q3＝2×23＝16．

7．在等比数列{an}中，a2＝，a3＝，则＝________．

【答案】　【解析】数列{an}的公比为q＝＝，故＝＝＝．

8．正项等比数列{an}满足a1＋a3＝，且2a2，a4，a3成等差数列，设bn＝anan＋1(n∈N*)，则b1b2·…·bn取得最小值时的n值为________．

【答案】2　【解析】设等比数列{an}的公比为q．由2a2，a4，a3成等差数列，可得a4＝2a2＋a3，则a1q3＝2a1q＋a1q2，所以q2＝2＋q，解得q＝－1(舍去)或q＝2．因为a1＋a3＝a1＋a1q2＝，所以a1＝．所以an＝·2n－1＝2n－3．所以bn＝anan＋1＝2n－3·2n－2＝22n－5．所以b1b2·…·bn＝2－3－1＋1＋3＋…＋(2n－5)＝2n(2n－8)＝2n(n－4)＝2(n－2)2－4，当n＝2时，(n－2)2－4取得最小值，即b1b2·…·bn取得最小值．

9．已知数列{an}的通项公式an＝2n－6(n∈N*)．

(1)求a2，a5；

(2)若a2，a5分别是等比数列{bn}的第1项和第2项，求数列{bn}的通项公式bn．

解：(1)由题意可得a2＝2×2－6＝－2，

a5＝2×5－6＝4．

(2)由题意可得b1＝－2，b2＝4，

故数列{bn}的公比q＝＝－2，

故bn＝－2×(－2)n－1＝(－2)n．

10．已知等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n．

解：设等比数列{an}的公比为q，

因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，

所以＝＝＝q＝．

故a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝a1＋a1＝36，

解得a1＝27，故an＝27×n－1＝28－n．

令28－n＝＝2－1，解得n＝9．

B级——能力提升练

11．(2020年成都期末)已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为(　　)

A．3　 B．－3　

C．－　 D．

【答案】D　【解析】因为等比数列{an}中，a2·a6＝9a4，a2＝1，所以由于q>0，所以解方程组得

12．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)

A．　　 B．

C．　 D．或

【答案】C　【解析】∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1．∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1．∴q2－q－1＝0．∵q＞0，∴q＝．∴＝＝＝＝．

13．数列{an}是公差不为0的等差数列且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为(　　)

A． B．4

C．2 D．

【答案】C　【解析】∵a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，∴a＝a1·a7．设{an}的公差为d，则d≠0，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝＝＝2．

14．在数列{an}中，已知a2＝4，a3＝15且数列{an＋n}是等比数列，则an＝__________．

【答案】2·3n－1－n　【解析】∵数列{an＋n}是等比数列，∴(a2＋2)2＝(a1＋1)(a3＋3)，∴(4＋2)2＝(a1＋1)×(15＋3)，解得a1＝1．∴公比q＝＝＝3．∴an＋n＝2×3n－1．∴an＝2×3n－1－n．

15．(2021年凉山模拟)已知公差大于零的等差数列{an}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则的值是________．

【答案】　【解析】设数列{an}的公差为d，则有d>0．因为a2，a8，a12依次成等比数列，所以a＝a2·a12⇒(a1＋7d)2＝(a1＋d)(a1＋11d)⇒19d2＝－a1d．因为d>0，所以a1＝－19d，因此＝＝＝．

16．(2020年上海期末)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

【答案】(1)证明：∵an＋1＝an＋(n∈N*)，

∴＝＝＝＝，因此，数列是等比数列．

(2)解：由于a1－＝－＝，∴数列是以为首项、为公比的等比数列，∴an－＝×n－1＝，因此an＝＋．

C级——探究创新练

17．(2021年北京五中模拟)若三角形三边成等比数列，则公比q的范围是________．

【答案】　【解析】设三角形的三边分别为q，aq，aq2(q>0)，则由两短边之和大于最长边，得①当q≥1时，a＋aq>aq2，即q2－q－1<0，解得<q<，所以1≤q<．②当0<q<1时，aq＋aq2>a，即q2＋q－1>0，解得q>或q<－，所以<q<1．综上，q∈．

18．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．

(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

(1)证明：因为an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，

所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．

因为a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，

所以an＋2an－1≠0(n≥2)，

所以＝3(n≥2)，

所以数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．

(2)解：由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，

则an＋1＝－2an＋5×3n，

所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．

又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0．

所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．

所以an－3n＝2×(－2)n－1，

即an＝2×(－2)n－1＋3n．